Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között forrásának megtekintése

{{nincs forrás}}
{{lektor}}
{{nincs bevezető}}
A tétel azt állítja, hogy a háromszögben a legnagyobb oldallal szemközt van a legnagyobb szög. A tétel megfordítása is igaz, vagyis a legnagyobb szöggel szemközti oldal a legnagyobb.
A tétel a [[koszinusztétel]] egy változatának tekinthető.
== Tétel a háromszögek leghosszabb oldaláról ==
Minden [[háromszög]]ben a legnagyobb oldallal szemben a legnagyobb szög van.
'''Bizonyítás:'''
Felhasználjuk, hogy egyenlő oldallal szemben egyenlő szögek vannak. Legyen <math>AC<BC</math>, <math>AC</math> szakaszt felmérjük <math>C</math>-ből <math>BC</math>-re, így kapjuk a <math>B'</math> pontot. <math>AB'C</math> háromszög egyenlő szárú, szögei <math>\delta</math>. <math>\delta<\alpha</math>, mert <math>AB'</math> szögszár a <math>CAB</math> szög belsejében halad. <math>\beta<\delta</math>, mert az <math>AB'B</math> háromszög <math>B'</math> csúcsánál lévő külső szöge. <math>\longrightarrow \beta<\alpha</math>.
== A tétel megfordítása==
Minden háromszögben a legnagyobb szöggel szemben a legnagyobb oldal van.
'''Bizonyítás''' (indirekt módon):
<math>ABC</math> háromszögben legyen <math>\beta < \alpha</math>. Tegyük fel, hogy <math>AC < BC</math> nem igaz, azaz <math>AC \geq BC</math>. Ha így lenne, akkor vagy azonos szög vagy nagyobb szög lenne, de ez ellentmond a feltevésnek. Tehát rossz volt a <math>AC \geq BC</math> állítás, így <math>AC < BC</math>.
== A háromszög szögeinek kiszámítása oldalaiból ==
A koszinusztétel szerint tetszőleges háromszögben
:<math>\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
A γ szög szinusza:
<math>\sin\,\gamma\ = \frac{ \sqrt{ \left( a+b+c \right) \left( -a+b+c \right) \left( a-b+c \right) \left( a+b-c \right) } }{2ab} </math>
A szinuszos képlet alkalmazása esetén figyelembe kell venni, hogy a háromszögben a nagyobb szöggel szembeni oldal nagyobb.
== Kapcsolódó szócikkek ==
*[[Háromszög]]
*[[Hérón-képlet]]
*[[Általános magasságtétel]]
{{csonk-dátum|csonk-geometria|2007 májusából}}
[[Kategória:Háromszögek]]