Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között

A tétel azt állítja, hogy a háromszögben a legnagyobb oldallal szemközt van a legnagyobb szög. A tétel megfordítása is igaz, vagyis a legnagyobb szöggel szemközti oldal a legnagyobb. A tétel a koszinusztétel egy változatának tekinthető.

Tétel a háromszögek leghosszabb oldaláról

Minden háromszögben a legnagyobb oldallal szemben a legnagyobb szög van. Bizonyítás: Felhasználjuk, hogy egyenlő oldallal szemben egyenlő szögek vannak. Legyen $AC<BC$, $AC$ szakaszt felmérjük $C$-ből $BC$-re, így kapjuk a $B^{\prime }$ pontot. $A{B}^{\prime }C$ háromszög egyenlő szárú, szögei $\delta$. $\delta <\alpha$, mert $A{B}^{\prime }$ szögszár a $CAB$ szög belsejében halad. $\beta <\delta$, mert az $A{B}^{\prime }B$ háromszög $B^{\prime }$ csúcsánál lévő külső szöge. $⟶\beta <\alpha$.

A tétel megfordítása

Minden háromszögben a legnagyobb szöggel szemben a legnagyobb oldal van. Bizonyítás (indirekt módon): $ABC$ háromszögben legyen $\beta <\alpha$. Tegyük fel, hogy $AC<BC$ nem igaz, azaz $AC\ge BC$. Ha így lenne, akkor vagy azonos szög vagy nagyobb szög lenne, de ez ellentmond a feltevésnek. Tehát rossz volt a $AC\ge BC$ állítás, így $AC<BC$.

A háromszög szögeinek kiszámítása oldalaiból

A koszinusztétel szerint tetszőleges háromszögben

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

A γ szög szinusza: $$\begin{gathered} \sin \gamma \\ =\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2ab} \end{gathered}$$ A szinuszos képlet alkalmazása esetén figyelembe kell venni, hogy a háromszögben a nagyobb szöggel szembeni oldal nagyobb.

Kapcsolódó szócikkek

• Háromszög
• Hérón-képlet
• Általános magasságtétel