Hérón-képlet

A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:

$T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$s=\frac{a+b+c}{2}$

ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe. A képletet az alexandriai Hérón vezette be.

Bizonyítás

Elemi

Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.

Trigonometriai

A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:

$T$	$=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$
	$=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-{\cos }^2\gamma }$
	$=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )}$
	$=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab})(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab})}$
	$=\frac{1}{4}\sqrt{((a+b{)}^2-c^2)(c^2-(a-b{)}^2)}$
	$=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}$

Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis

$a=2s-b-c$

akkor pont a Hérón-képletet kapjuk.

Geometriai

Hasonló háromszögek

Elég annyit belátni, hogy

• $t=rs=r_a(s-a)$
• $r{r}_a=(s-b)(s-c)$

mert ebből már következik, hogy

$t^2=rs{r}_a(s-a)=s(s-a)(s-b)(s-c).$

Az ábráról leolvasható, hogy

$t=t_{AOB}+t_{BOC}+t_{COA}=\frac{ar+br+cr}{2}=rs,$

és

$t=t_{A{O}_{a}B}+t_{A{O}_{a}C}-t_{B{O}_{a}C}=\frac{b{r}_a+c{r}_a-a{r}_a}{2}=r_a(s-a),$

valamint az $FOB$ és $EB{O}_a$ derékszögű háromszögek hasonlók. Könnyen igazolható, hogy $FB=y=s-b$ és $BE=z=s-c$, tehát $\frac{r}{s-b}=\frac{OF}{FB}=\frac{BE}{O_{a}E}=\frac{s-c}{r_a}.$ A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.

Más Hérón-képletek

A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni: A húrnégyszög területe

$T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$,

ahol $s=\frac{a+b+c+d}{2}$. Az általános konvex négyszög területe

$T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\phi }$,

ahol s, mint előbb, $\phi =\frac{\alpha +\gamma }{2}$, és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge. Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:

$V=\frac{1}{3}\sqrt{s^2(s^2-a^2)(s^2-b^2)(s^2-c^2)}$

ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és $s^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$.

Kapcsolódó szócikkek

• Brahmagupta indiai matematikus

Források

• A Matematika Tanítása 2001. 5. szám
• (angolul) Eric W. Weisstein, "Heron's Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html