Húrnégyszög

Húrnégyszögek köréjük írt köreikkel

A húrnégyszög olyan négyszög, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Más megfogalmazásban, olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai. Speciálisan, húrnégyszögek az egyenlő szárú trapézok, amiket ezért húrtrapézoknak neveznek. Szintén speciálisak az olyan húrnégyszögek, melyeknek átlói merőlegesek egymásra. Az a négyszög, amibe kör írható, érintőnégyszög.

Képletek

A húrnégyszög adatai
Terület	$T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
Terület	$T=\frac{e\cdot (ab+cd)}{4R}=\frac{f\cdot (ad+bc)}{4R}$
Oldalhosszak	$a,b,c,d$
Félkerület	$s=\frac{a+b+c+d}{2}$
Az átlók hossza	$e=\overline{AC}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}},f=\overline{BD}=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$
A körülírt kör sugara	$R=\frac{1}{4T}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)},$

Az első területképlet Brahmagupta tételeként ismert, melynek speciális esete, mikor d=0. Ezt a speciális esetet Hérón-képletként emlegetik, ami a háromszögek területének kiszámításának egy módszere. Ilyenkor a négyszög egyik oldala 0, így háromszöget kapunk. Néha az általános esetet is Hérón-képletnek nevezik.

A húrnégyszögek tétele

Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege $180^{\circ }$.

A tétel megfordítása

Ha egy négyszög két szemközti szögének összege $180^{\circ }$, akkor az húrnégyszög.

Tétel bizonyítása

A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög $\alpha$ szögéhez tartozó középponti szög $2\alpha$. Az $\alpha$ szöggel szemközti $\gamma$ szöghöz tartozó középponti szög $2\gamma$. A két középponti szög kiegészíti egymást ($2\alpha +2\gamma =360^{\circ }$), így $\alpha +\gamma =180^{\circ }$.

A tétel megfordításának bizonyítása

Az $ABD$ háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy $C$ erre illeszkedik. A kör $BD$ húrja az $A$ pontból $\alpha$ szög alatt látszik, $C$ pontból pedig $180^{\circ }-\alpha$ szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a $BD$ húr $180^{\circ }-\alpha$ szög alatt látszik, az $ABD$ háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a $BD$-re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt $ABCD$ négyszög konvex, így $C$ csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz $ABCD$ négyszög húrnégyszög.

Ptolemaiosz tétele

A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő. Bizonyítás: Azt kell megmutatnunk, hogy $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$. Vegyünk fel az egyik átlón (pl. BD-n) egy olyan P pontot, melyre $DAP\mathrm{\angle }=BAC\mathrm{\angle }$. Ez minden esetben megtehető, hiszen a $BAD\mathrm{\angle }$ szög AD szárától felvesszük a $BAC\mathrm{\angle }$-et. A félegyenesünk metszi BD-t, ez a pont P. Ha $DAP\mathrm{\angle }=BAC\mathrm{\angle }$, akkor $BAP\mathrm{\angle }=DAC\mathrm{\angle }$ is teljesül. Az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből $ABP\mathrm{\angle }=ACD\mathrm{\angle }$. Mindebből következik, hogy az APB és ADC háromszögek hasonlók, azaz $\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{DC}$ ahonnan $AB\cdot DC=AC\cdot BP$. $\left(1\right)$ De $ACB\mathrm{\angle }=ADB\mathrm{\angle }$ az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből, így a BAC és az APD háromszögek szintén hasonlóak, hiszen szögeik egyenlők, így írhatjuk $\frac{BC}{AC}=\frac{PD}{AD}$ ahonnan $BC\cdot AD=PD\cdot AC$. $\left(2\right)$ Adjuk most össze az (1) és (2) egyenlőségeket; azt kapjuk hogy $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot (BP+PD)=AC\cdot BD$ amit akartunk bizonyítani.

Tétel a húrnégyszög átlóinak szeleteiről

Az ABCD húrnégyszög egyik átlójának két szeletének szorzata megegyezik a húrnégyszög másik átlójának két szeletének szorzatával. $\overline{AP}\cdot \overline{CP}=\overline{BP}\cdot \overline{DP}$, ahol P a két átló metszéspontja.

Források

• Gerőcs László. Azok a csodálatos húrnégyszögek. Műszaki Könyvkiadó (1999). ISBN 963-16-2520-6