Abel-teszt forrásának megtekintése

{{lektor}}
A matematikában, az '''Abel-teszt''' (Abel-kritériumnak is hívják) módszer a [[véges sor]]ok [[konvergencia (matematika)|konvergenciájának]]. A tesztet [[Niels Henrik Abel]] matematikusról nevezték el.
Két kissé különböző változat létezik, az egyik [[valós számok]] sorozatára, a másik a [[komplex analízis]]ben a hatványsorokra használható.
==Abel-teszt a valós analízisben==
Ha a következő állítások igazak:
1. <math>\sum a_n </math> egy konvergens sorozat<br />
2. {<math>b_n</math>} egy monoton sorozat<br />
3. {<math>b_n</math>} korlátos, <br />
<br />
akkor <math>\sum a_nb_n </math> konvergens.<br />
==Abel-teszt a komplex analízisben==
Az Abel-tesztet gyakran hatvány-sorok – egy konvergencia körön belüli - konvergenciájának megállapítására használják.
Az Abel-teszt az állítja, hogy ha
:<math>
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,
</math>
és a
:<math>
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,</math> sorozat
konvergál, ha |''z''| < 1 és divergál ha |''z''| > 1, továbbá a {''a''<sub>''n''</sub>} együtthatók pozitív valós számok, monoton csökkennek a zéró [[határérték]] felé ''n'' > ''m'' esetén (azaz, ha ''n'' [[elég nagy]]), akkor az ''f''(''z'') függvény konvergál mindenhol egy egységnyi körön belül, kivéve, amikor ''z'' = 1.
Az Abel-teszt nem alkalmazható, amikor ''z'' = 1, úgy, hogy ebben a speciális pontban külön kell vizsgálni a konvergenciát.
Megjegyzendő, hogy az Abel-teszt olyan hatvány sorokra is alkalmazható, ahol a konvergencia sugara ''R'' ≠ 1, egy egyszerű változó cserével: ''ζ'' = ''z''/''R''.<ref>(Moretti, 1964, p. 91)</ref>
==Az Abel-teszt bizonyítása==
Tegyük fel, hogy ''z'' egy egységnyi körben egy pont, és ''z'' ≠ 1.
Ekkor
:<math>
z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} =
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0
</math>
így, bármely két pozitív egészre ''p'' > ''q'' > ''m'', írhatjuk, hogy
:<math>
\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & =
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}
</math>
ahol ''S''<sub>''p''</sub> és ''S''<sub>''q''</sub> részleges szummák:
:<math>
S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,
</math>
Mivel |''z''| = 1 és a ''a''<sub>''n''</sub> monoton csökkenő pozitív valós számok ha ''n'' > ''m'', akkor írhatjuk:
:<math>
\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & =
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}.\,
\end{align}
</math>
Most alkalmazhatjuk a [[Cauchy-konvergenciakritérium]]ot annak megállapítására, hogy ''f''(''z'') konvergál a kiválasztott pontnál ''z'' ≠ 1, mert sin(½''θ'') ≠ 0 egy állandó mennyiség, és ''a''<sub>''q''+1</sub> kisebb lesz bármely adott ''ε'' > 0 –nál, ha ''q'' elég nagy.
==Irodalom==
*{{CitLib|szerző= Gino Moretti |cím= Functions of a Complex Variable |év=1964|kiadó= Prentice-Hall, Inc.|isbn=|oldal=}}
==Kapcsolódó szócikkek==
*[[Véges sor]]
*[[Konvergens]]
*[[Cauchy-konvergenciakritérium]]
*[[Taylor-sor]]
*{{mathworld|urlname=AbelsUniformConvergenceTest|title=Abel's Uniform Convergence Test}}
*[[Abel-féle egyenletes konvergencia teszt]]
*{{mathworld|urlname=MercatorSeries|title=Mercator Series}}
*http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
{{DEFAULTSORT:Abelteszt}}
[[Kategória:Végtelen sorok]]