Abel-teszt

A matematikában, az Abel-teszt (Abel-kritériumnak is hívják) módszer a véges sorok konvergenciájának. A tesztet Niels Henrik Abel matematikusról nevezték el. Két kissé különböző változat létezik, az egyik valós számok sorozatára, a másik a komplex analízisben a hatványsorokra használható.

Abel-teszt a valós analízisben

Ha a következő állítások igazak: 1. $\sum a_n$ egy konvergens sorozat
2. {$b_n$} egy monoton sorozat
3. {$b_n$} korlátos,

akkor $\sum a_n{b}_n$ konvergens.

Abel-teszt a komplex analízisben

Az Abel-tesztet gyakran hatvány-sorok – egy konvergencia körön belüli - konvergenciájának megállapítására használják. Az Abel-teszt az állítja, hogy ha

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

és a

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ sorozat

konvergál, ha |z| < 1 és divergál ha |z| > 1, továbbá a {a_n} együtthatók pozitív valós számok, monoton csökkennek a zéró határérték felé n > m esetén (azaz, ha n elég nagy), akkor az f(z) függvény konvergál mindenhol egy egységnyi körön belül, kivéve, amikor z = 1. Az Abel-teszt nem alkalmazható, amikor z = 1, úgy, hogy ebben a speciális pontban külön kell vizsgálni a konvergenciát. Megjegyzendő, hogy az Abel-teszt olyan hatvány sorokra is alkalmazható, ahol a konvergencia sugara R ≠ 1, egy egyszerű változó cserével: ζ = z/R.

Az Abel-teszt bizonyítása

Tegyük fel, hogy z egy egységnyi körben egy pont, és z ≠ 1. Ekkor

$z=e^{i\theta }\Rightarrow z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}=2i\sin \frac{\theta }{2}\ne 0$

így, bármely két pozitív egészre p > q > m, írhatjuk, hogy

$\begin{array}{rl}2i\sin \frac{\theta }{2}(S_p-S_q)& =\sum _{n=q+1}^p{a}_n(z^{n+\frac{1}{2}}-z^{n-\frac{1}{2}})\\ & =\left[\sum _{n=q+2}^p(a_{n-1}-a_n)z^{n-\frac{1}{2}}\right]-a_{q+1}{z}^{q+\frac{1}{2}}+a_p{z}^{p+\frac{1}{2}}\end{array}$

ahol S_p és S_q részleges szummák:

$S_p=\sum _{n=0}^p{a}_n{z}^n.$

Mivel |z| = 1 és a a_n monoton csökkenő pozitív valós számok ha n > m, akkor írhatjuk:

$\begin{array}{rl}|2i\sin \frac{\theta }{2}(S_p-S_q)|& =\left|\sum _{n=q+1}^p{a}_n(z^{n+\frac{1}{2}}-z^{n-\frac{1}{2}})\right|\\ & \le \left[\sum _{n=q+2}^p\left|(a_{n-1}-a_n)z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right]+\left|a_{q+1}{z}^{q+\frac{1}{2}}\right|+\left|a_p{z}^{p+\frac{1}{2}}\right|\\ & =\left[\sum _{n=q+2}^p(a_{n-1}-a_n)\right]+a_{q+1}+a_p\\ & =a_{q+1}-a_p+a_{q+1}+a_p=2a_{q+1}.\end{array}$

Most alkalmazhatjuk a Cauchy-konvergenciakritériumot annak megállapítására, hogy f(z) konvergál a kiválasztott pontnál z ≠ 1, mert sin(½θ) ≠ 0 egy állandó mennyiség, és a_q+1 kisebb lesz bármely adott ε > 0 –nál, ha q elég nagy.

Irodalom

• Gino Moretti: Functions of a Complex Variable. (hely nélkül): Prentice-Hall, Inc. 1964.  

Kapcsolódó szócikkek

• Véges sor
• Konvergens
• Cauchy-konvergenciakritérium
• Taylor-sor
• Weisstein, Eric W.: Abel's Uniform Convergence Test (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Abel-féle egyenletes konvergencia teszt
• Weisstein, Eric W.: Mercator Series (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html