Cauchy-konvergenciakritérium

A Cauchy-kritérium feltétel egy sorozat konvergenciájának eldöntésére. Ha definíció szerint szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens-e, akkor előre tudnunk kellene a sorozat határértékét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a határérték előzetes ismeretét. Emiatt ezt a kritériumot "belső" konvergencia-kritériumnak nevezzük, ugyanis a sor "belső" szerkezeti tulajdonsága alapján dönti el a konvergencia tényét. A Cauchy-kritérium csak teljes metrikus terekben érvényes.

A Cauchy-kritérium

Tétel: Legyen $(X,\rho )$ metrikus tér és $(a_n)\subseteq X$ sorozat, ha $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$, akkor minden $\epsilon >0$ esetén létezik olyan $N\in \mathbb{\mathbb{N}}$, amelyre minden $n,m\ge N$ esetén $\rho (a_n,a_m)<\epsilon$. Bizonyítás: Mivel $\lim (a_k)=a\Rightarrow \frac{\epsilon }{2}>0$ számhoz $\mathrm{\exists }{k}_0:k,l>0$ esetén $\rho (a_k,a)<\frac{\epsilon }{2}\Rightarrow k,l>k_0\Rightarrow \rho (a_k,a_l)\le \rho (a_k,a)+\rho (a,a_l)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$ Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

1. a $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ végtelen sor konvergens
2. $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in {\mathbf{Z}}^{+}\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbf{Z}}^{+}n>m>N\Rightarrow \left|\sum _{k=m}^n{a}_k\right|<\epsilon$

Ez azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat.

Lásd még

• Gyökkritérium
• Hányadoskritérium
• Majoráns kritérium

Irodalom

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978-963-19-6084-6
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9