Elliptikus hengerkoordináta-rendszer forrásának megtekintése

[[File:Elliptic cylindrical coordinates.png|thumb|right|350px|Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei.  A sárga hajlított felület egy fél hiperbolikus henger, ami a ν=-45°-nak felel meg, míg a piros cső a μ=1-hez tartozó elliptikus henger.  A kék sík a ''z''=1 koordinátához tartozik.  A három felület a '''P''' pontban metszi egymást, melyet egy fekete gömb jelez. Desacartes.-koordinátái körülbelül (2,182; -1,661; 1,0).  Az ellipszisek és hiperbolák fókuszai az ''x'' = ±2,0 pontok]]
Az '''elliptikus hengerkoordináta-rendszer''' egy háromdimenziós [[ortogonális koordináta-rendszer]], ami a kétdimenziós [[elliptikus koordináta-rendszer]] harmadik, merőleges tengely menti vetítésével kapható. Koordinátafelületei [[elliptikus henger|elliptikus]] és [[hiperbolikus henger]]ek. Az <math>F_{1}</math> és <math>F_{2}</math> fókuszokat az adott [[Descartes-féle koordináta-rendszer]] <math>x</math>-tengelyén veszik fel, rendre a <math>-a</math> és <math>+a</math> pontokban.
==Alap definíciók==
 A <math>(\mu, \nu, z)</math> elliptikus hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:
:<math>
x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu
</math>
:<math>
y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu
</math>
:<math>
z = z
</math>
ahol  <math>\mu</math> nemnegatív valós szám, és <math>\nu \in [0, 2\pi]</math>. Ezek a definíciók [[ellipszis (görbe)|ellipszis]]eknek és [[hiperbola (matematika)|hiperboláknak]] felelnek meg. Az
:<math>
\frac{x^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1
</math>
trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans <math>\mu</math>-höz tartozó görbék ellipszisek, míg az
:<math>
\frac{x^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1
</math>
trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans <math>\nu</math>-höz tartozó görbék hiperbolák.
==Skálázási tényezők==
A <math>\mu</math> és <math>\nu</math> elliptikus hengerkoordináták skálázási tényezői megegyeznek:
:<math>
h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}
</math>
és a harmadik skálázási tényező <math>h_{z}=1</math>.  Eszerint az infinitezimális térfogatelem:
:<math>
dV = a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu dz
</math>
és a Laplace-operátor:
:<math>
\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} \right) + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}
</math>
A további differenciáloperátorok, mint <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> és <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> kifejezhetők a  <math>(\mu, \nu, z)</math> koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
==Alternatív definíció==
Néha egy másik koordinátahármast használnak, ami geometriailag is intuitív. Megkülönböztetésül jelölésük <math>(\sigma, \tau, z)</math>, és kaphatók, mint <math>\sigma = \cosh \mu</math> és <math>\tau = \cos \nu</math>. A konstans <math>\sigma</math>-hoz tartozó görbék ellipszisek, a konstans <math>\tau</math>-hoz tartozók hiperbolák. A <math>\tau</math> koordináta a [-1, 1] intervallum eleme, míg a  <math>\sigma</math> koordináta legalább 1.
A  <math>(\sigma, \tau, z)</math> koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az <math>F_{1}</math> és <math>F_{2}</math> fókuszoktól mért távolsággal. Az (x,y) sík pontjaira teljesül, hogy a fókuszoktól mért <math>d_{1}+d_{2}</math> távolságösszeg egyenlő <math>2a\sigma</math>-val, míg a <math>d_{1}-d_{2}</math> különbség megegyezik <math>2a\tau</math>-val. Így az <math>F_{1}</math>-től mért távolság <math>a(\sigma+\tau)</math>, az <math>F_{2}</math>-től mért távolság <math>a(\sigma-\tau)</math>.
Az alternatív definíció hátránya: nem lehet egy-egyértelműen megfeleltetni a Decartes-koordinátarendszerrel:
:<math>
x = a\sigma\tau
</math>
:<math>
y^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)
</math>
==Alternatív skálázási tényezők==
A <math>(\sigma, \tau, z)</math> alternatív koordináták skálázási tényezői:
:<math>
h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}
</math>
:<math>
h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}
</math>
és  <math>h_{z}=1</math>. Az infinitezimális térfogatelem
:<math>
dV = a^{2} \frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau dz
</math>
és a Laplace-operátor:
:<math>
\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) }
\left[
\sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) +
\sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)
\right] +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}
</math>
A további differenciáloperátorok, mint <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> és <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> kifejezhetők a  <math>(\sigma, \tau)</math> koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
==Alkalmazások==
Az elliptikus hengerkoordináta-rendszert hagyományosan parciális differenciál-egyenletek megoldására használják, például Laplace egyenletének vagy a Helmholtz-egyenlet megoldására, ahol is az elliptikus hengerkoordináta-rendszer lehetővé teszi a változók szétválasztását. Egy tipikus példa egy <math>2a</math> vastagságú lapos vezető lap elektromos mezője.
A háromdimenziós hullámegyenlet elliptikus hengerkoordinátákkal kifejezve megoldható a változók szétválasztásával, ami a Mathieu-differenciálegyenleteket adja.
Az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is hasznosak lehetnek. Egy tipikus példa azokon a <math>\mathbf{p}</math> and <math>\mathbf{q}</math> vektorpárokon vett integrál, melyek összege egy rögzített <math>\mathbf{r} = \mathbf{p} + \mathbf{q}</math> vektor, az integrandus pedig <math>\left| \mathbf{p} \right|</math> and <math>\left| \mathbf{q} \right|</math>. Ekkor a koordináta-rendszert úgy veszik fel, hogy <math>\mathbf{r}</math> a két fókusz közé essen, és az <math>x</math>-tengelyen helyezkedjen el, vagyis <math>\mathbf{r} = 2a \mathbf{\hat{x}}</math>. Az <math>\mathbf{r}</math>, <math>\mathbf{p}</math> és <math>\mathbf{q}</math> vektorok reprezentálhatják egy részecske és dekompozíciójának momentumát, és az integrandus magában foglalja a mozgási energiát.
==Források==
*{{cite book | author = [[Philip M. Morse|Morse PM]], [[Herman Feshbach|Feshbach H]] | year = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | url = https://archive.org/details/methodsoftheoret0000phil_w6e3 | publisher = McGraw-Hill | location = New York | isbn = 0-07-043316-X | page = [https://archive.org/details/methodsoftheoret0000phil_w6e3/page/657 657] | lccn = 52011515}}
*{{cite book | author = [[Henry Margenau|Margenau H]], Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | url = https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg| url-access = registration| publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = [https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg/page/182 182]–183 | lccn = 55010911 }}
*{{cite book | author = Korn GA, [[Theresa M. Korn|Korn TM]] |year = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | id = ASIN B0000CKZX7 | page = 179 | lccn = 59014456}}
*{{cite book | author = Sauer R, Szabó I | year = 1967 | title = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | publisher = Springer Verlag | location = New York | page = 97 | lccn = 67025285}}
*{{cite book | author = Zwillinger D | year = 1992 | title = Handbook of Integration | publisher = Jones and Bartlett | location = Boston, MA | isbn = 0-86720-293-9 | page = 114}}  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting ''u''<sub>''k''</sub> for ξ<sub>''k''</sub>.
*{{cite book | author = Moon P, Spencer DE | year = 1988 | chapter = Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print | publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = 17–20 (Table 1.03) | isbn = 978-0-387-18430-2}}
==Fordítás==
{{fordítás|en|Elliptic cylindrical coordinates}}
[[Kategória:Analitikus geometria]]