Gell-Mann-mátrixok forrásának megtekintése

A [[Murray Gell-Mann]]ról elnevezett '''Gell-Mann-mátrixok''' az [[SU(3)]] csoport generátorai <math>3\times 3</math>-as mátrixok között. A nyolc mátrix a következőképp van definiálva:<ref>Murray Gell-Mann, "Symmetries of Baryons and Mesons", [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.125.1067 Phys. Rev. 125, 1067 - 1084 (1962).]</ref>
:{| border="0" cellpadding="8" cellspacing="0"
|<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|-
|<math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
|-
|<math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}</math>
|
|}
A Gell-Mann-mátrixok nyoma nulla, [[Hermitikus mátrix|hermitikusak]] és páronként ortogonálisak:
:<math> \mathrm{Tr}(\lambda_k \lambda_l) = 2 \delta_{kl}. </math>
A Gell-Mann-mátrixok felfoghatók a [[Pauli-mátrixok]] általánosításaként. Érdemes észrevenni, hogy <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_7</math> valójában <math>2\times 2</math>-es Pauli-mátrixok plusz egy nullákból álló sor és oszlop.
Így ezeknek a mátrixoknak a sajátértékei a -1, a 0 és az 1. <math>\lambda_8</math> sajátértékei ezzel szemben az <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> és a <math>\frac{-2}{\sqrt{3}}</math>. Továbbá, <math>\lambda_3</math> and <math>\lambda_8</math> mindketten diagonálisak, és
:{|
<math>\lambda_3^2+\lambda_8^2=\frac{4}{3}I_3</math>
|}
ahol <math>I_3</math> a <math>3\times 3</math>-as [[egységmátrix]]. Érdekes még, hogy
:{|
<math>\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+\lambda_4^2+\lambda_5^2+\lambda_6^2+\lambda_7^2+\lambda_8^2=\frac{16}{3}I_3.</math>
|}
A Gell-Mann-mátrixokat a [[kvark]]ok leírásánál és a [[kvantum-színdinamika|kvantum-színdinamikában]] használják.
==Források==
{{jegyzetek}}
{{DEFAULTSORT:Gellmannmatrixok}}
[[Kategória:Kvantummechanika]]