Gell-Mann-mátrixok

A Murray Gell-Mannról elnevezett Gell-Mann-mátrixok az SU(3) csoport generátorai $3\times 3$-as mátrixok között. A nyolc mátrix a következőképp van definiálva:

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

A Gell-Mann-mátrixok nyoma nulla, hermitikusak és páronként ortogonálisak:

$\mathrm{T}\mathrm{r}({\lambda }_k{\lambda }_l)=2{\delta }_{kl}.$

A Gell-Mann-mátrixok felfoghatók a Pauli-mátrixok általánosításaként. Érdemes észrevenni, hogy ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_7$ valójában $2\times 2$-es Pauli-mátrixok plusz egy nullákból álló sor és oszlop. Így ezeknek a mátrixoknak a sajátértékei a -1, a 0 és az 1. ${\lambda }_8$ sajátértékei ezzel szemben az $\frac{1}{\sqrt{3}}$ és a $\frac{-2}{\sqrt{3}}$. Továbbá, ${\lambda }_3$ and ${\lambda }_8$ mindketten diagonálisak, és

${\lambda }_3^2+{\lambda }_8^2=\frac{4}{3}{I}_3$

ahol $I_3$ a $3\times 3$-as egységmátrix. Érdekes még, hogy

${\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2+{\lambda }_4^2+{\lambda }_5^2+{\lambda }_6^2+{\lambda }_7^2+{\lambda }_8^2=\frac{16}{3}{I}_3.$

A Gell-Mann-mátrixokat a kvarkok leírásánál és a kvantum-színdinamikában használják.