Szimmetrikus hatványösszeg-polinom forrásának megtekintése

A [[matematika|matematikában]], azon belül a [[kommutatív algebra|kommutatív algebrában]] a '''szimmetrikus hatványösszeg-polinomok''' a [[szimmetrikus polinom]]ok egyfajta alapvető építőkövei, abban az értelemben, hogy minden racionális együtthatós szimmetrikus polinom felírható szimmetrikus hatványösszeg-polinomok racionális együtthatós polinomjaként. Azonban nem minden egész együtthatós szimmetrikus polinomot kaphatunk meg szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatainak egész együtthatós kombinációjaként. Ezek ugyanis a ''racionálisok" felett alkotnak generátorhalmazt, nem pedig az ''egészek'' felett.
==Definíció==
Jelöljük ''p''<sub>''k''</sub>-val az ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> változók ''k''-adik szimmetrikus hatványösszeg-polinomját, amely minden ''k'' = 0, 1, 2, ... esetén az ''n'' változó ''k''-adik hatványainak összege. Formálisan:
:<math> p_k (x_1, x_2, \dots,x_n) = \sum_{i=1}^n x_i^k \, .</math>
Az első néhány polinom:
:<math> p_0 (x_1, x_2, \dots,x_n) = n ,</math>
:<math> p_1 (x_1, x_2, \dots,x_n) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n \, ,</math>
:<math> p_2 (x_1, x_2, \dots,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \, ,</math>
:<math> p_3 (x_1, x_2, \dots,x_n) = x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3 \, .</math>
Így minden nemnegatív egész ''k''-hoz létezik pontosan egy szimmetrikus hatványösszeg-polinom, amely ''k''-adfokú és ''n'' változós.
A szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatának lineáris kombinációi által előállított [[polinomgyűrű]] [[kommutatív gyűrű]].
==Példák==
Az alábbiakban láthatunk néhány szimmetrikus hatványösszeg-polinomot konkrét értékekre kiszámolva:
1) ''n'' = 1, ''k'' = 1:
:<math>p_1 = x_1\,.</math>
2) ''n'' = 2, ''k'' = 1, 2:
:<math>p_1 = x_1 + x_2\,,</math>
:<math>p_2 = x_1^2 + x_2^2\,.</math>
3) ''n'' = 3, ''k'' = 1, 2, 3:
:<math>p_1 = x_1 + x_2 + x_3\,,</math>
:<math>p_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\,,</math>
:<math>p_3 = x_1^3+x_2^3+x_3^3\,,</math>
==Tulajdonságok==
Az ''n'' változós 1, 2, ..., ''n''-edfokú szimmetrikus hatványösszeg-polinomok halmaza generálja az ''n''-edfokú szimmetrikus polinomok gyűrűjét. Másként:
:'''Tétel'''. A racionális együtthatójú szimmetrikus polinomok gyűrűje egyenlő a <math>\mathbb Q[p_1,\ldots,p_n].</math> racionális polinomgyűrűvel. Hasonlóan teljesül ez akkor is, ha az együtthatókat bármely nem nulla karakterisztikájú [[Test (algebra)|testből]] vesszük.
Ugyanakkor ez nem igaz, ha az együtthatóknak egészeknek kell lenni. Például ha ''n'' = 2, akkor a
:<math>P(x_1,x_2) = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 + x_1x_2</math>
szimmetrikus polinomnak az alábbi felírásában tört együtthatók jelennek meg:
:<math>P(x_1,x_2) = \frac{p_1^3-p_1p_2}{2} + \frac{p_1^2-p_2}{2} </math>.
A tétel szerint ez az egyetlen lehetőség a <math>P(x_1,x_2)</math> polinom ''p''<sub>1</sub>-gyel és ''p''<sub>2</sub>-vel való kifejezésére. Következésképpen ''P'' nem tartozik a <math>\mathbb Z[p_1,\ldots,p_n]</math> polinomgyűrűbe. Másik példa az [[elemi szimmetrikus polinomok]] - ''e''<sub>''k''</sub> - kifejezése a hatványösszeg-polinomok polinomjaként, ekkor nem mindegyiknek lesznek egész együtthatói, például
:<math>e_2 := \sum_{1 \leq i<j \leq n} x_ix_j = \frac{p_1^2-p_2}{2} \, .</math>
A tétel szintén nem lesz igaz, ha a test karakterisztikája nullától különböző. Például ha az ''F'' test karakterisztikája 2, akkor <math>p_2 = p_1^2</math>, úgyhogy ''p''<sub>1</sub> és ''p''<sub>2</sub> nem tudják előállítani ''e''<sub>2</sub> = ''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>-t.
''A tétel részleges bizonyításának vázlata'': A [[Newton-Girard-formulák|Newton-féle azonosságoknál]] a hatványösszegek az elemi szimmetrikus polinomok függvényei; ezt a következő rekurzióból kapjuk meg, bár a hatványösszegeket megadó explicit függvény az ''e''<sub>''j''</sub>-re nézve bonyolult (lásd Newton-féle azonosságok):
:<math>p_n = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} e_j p_{n-j} \,.</math>
Átírva ugyanezen rekurziót megkapjuk az elemi szimmetrikus polinomokat a hatványösszeg-polinomokkal kifejezve (szintén implicte, az explicit képlet bonyolultsága miatt):
:<math> e_n = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} e_{n-j} p_j \,.</math>
Ebből következik, hogy az elemi szimmetrikus polinomok racionális, bár nem egész együtthatós lineáris kombinációi az 1, ..., ''n''-edfokú hatványösszeg-polinomoknak. Mivel az elemi szimmetrikus polinomok egy testből vett együtthatójú szimmetrikus polinomok egy bázisát alkotják, minden ''n'' változós szimmetrikus polinom egy <math>f(p_1,\ldots,p_n)</math> polinomfüggvénye a ''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''n''</sub> hatványösszeg-polinomoknak. Tehát a szimmetrikus polinomok gyűrűjét tartalmazza a hatványösszeg-polinomok által generált gyűrű, <math>\mathbb Q[p_1,\ldots,p_n].</math>. Mivel minden hatványösszeg-polinom szimmetrikus, a két gyűrű egyenlő.
(Ez nem bizonyítja azt, hogy az ''f'' polinom egyértelmű.)
==Hivatkozások==
* Macdonald, I.G. (1979), ''Symmetric Functions and Hall Polynomials''. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
* Macdonald, I.G. (1995), ''Symmetric Functions and Hall Polynomials'', second ed. Oxford: Clarendon Press. {{ISBN|0-19-850450-0}} (paperback, 1998).
* Richard P. Stanley (1999), ''Enumerative Combinatorics'', Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. {{ISBN|0-521-56069-1}}
== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Reprezentáció elmélet]]
* [[Newton-féle azonosságok]]
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Algebrai számelmélet]]
[[Kategória:Elemi algebra]]
[[Kategória:Polinomok]]