Szimmetrikus hatványösszeg-polinom

A matematikában, azon belül a kommutatív algebrában a szimmetrikus hatványösszeg-polinomok a szimmetrikus polinomok egyfajta alapvető építőkövei, abban az értelemben, hogy minden racionális együtthatós szimmetrikus polinom felírható szimmetrikus hatványösszeg-polinomok racionális együtthatós polinomjaként. Azonban nem minden egész együtthatós szimmetrikus polinomot kaphatunk meg szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatainak egész együtthatós kombinációjaként. Ezek ugyanis a racionálisok" felett alkotnak generátorhalmazt, nem pedig az egészek felett.

Definíció

Jelöljük p_k-val az x₁, ..., x_n változók k-adik szimmetrikus hatványösszeg-polinomját, amely minden k = 0, 1, 2, ... esetén az n változó k-adik hatványainak összege. Formálisan:

$p_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i^k.$

Az első néhány polinom:

$p_0(x_1,x_2,\dots ,x_n)=n,$

$p_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1+x_2+\cdots +x_n,$

$p_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2,$

$p_3(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1^3+x_2^3+\cdots +x_n^3.$

Így minden nemnegatív egész k-hoz létezik pontosan egy szimmetrikus hatványösszeg-polinom, amely k-adfokú és n változós. A szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatának lineáris kombinációi által előállított polinomgyűrű kommutatív gyűrű.

Példák

Az alábbiakban láthatunk néhány szimmetrikus hatványösszeg-polinomot konkrét értékekre kiszámolva: 1) n = 1, k = 1:

$p_1=x_1.$

2) n = 2, k = 1, 2:

$p_1=x_1+x_2,$

$p_2=x_1^2+x_2^2.$

3) n = 3, k = 1, 2, 3:

$p_1=x_1+x_2+x_3,$

$p_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2,$

$p_3=x_1^3+x_2^3+x_3^3,$

Tulajdonságok

Az n változós 1, 2, ..., n-edfokú szimmetrikus hatványösszeg-polinomok halmaza generálja az n-edfokú szimmetrikus polinomok gyűrűjét. Másként:

Tétel. A racionális együtthatójú szimmetrikus polinomok gyűrűje egyenlő a $\mathbb{\mathbb{Q}}[p_1,\dots ,p_n].$ racionális polinomgyűrűvel. Hasonlóan teljesül ez akkor is, ha az együtthatókat bármely nem nulla karakterisztikájú testből vesszük.

Ugyanakkor ez nem igaz, ha az együtthatóknak egészeknek kell lenni. Például ha n = 2, akkor a

$P(x_1,x_2)=x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2+x_1{x}_2$

szimmetrikus polinomnak az alábbi felírásában tört együtthatók jelennek meg:

$P(x_1,x_2)=\frac{p_1^3-p_1{p}_2}{2}+\frac{p_1^2-p_2}{2}$.

A tétel szerint ez az egyetlen lehetőség a $P(x_1,x_2)$ polinom p₁-gyel és p₂-vel való kifejezésére. Következésképpen P nem tartozik a $\mathbb{\mathbb{Z}}[p_1,\dots ,p_n]$ polinomgyűrűbe. Másik példa az elemi szimmetrikus polinomok - e_k - kifejezése a hatványösszeg-polinomok polinomjaként, ekkor nem mindegyiknek lesznek egész együtthatói, például

$e_2:=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j=\frac{p_1^2-p_2}{2}.$

A tétel szintén nem lesz igaz, ha a test karakterisztikája nullától különböző. Például ha az F test karakterisztikája 2, akkor $p_2=p_1^2$, úgyhogy p₁ és p₂ nem tudják előállítani e₂ = x₁x₂-t. A tétel részleges bizonyításának vázlata: A Newton-féle azonosságoknál a hatványösszegek az elemi szimmetrikus polinomok függvényei; ezt a következő rekurzióból kapjuk meg, bár a hatványösszegeket megadó explicit függvény az e_j-re nézve bonyolult (lásd Newton-féle azonosságok):

$p_n=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{j-1}{e}_j{p}_{n-j}.$

Átírva ugyanezen rekurziót megkapjuk az elemi szimmetrikus polinomokat a hatványösszeg-polinomokkal kifejezve (szintén implicte, az explicit képlet bonyolultsága miatt):

$e_n=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n(-1{)}^{j-1}{e}_{n-j}{p}_j.$

Ebből következik, hogy az elemi szimmetrikus polinomok racionális, bár nem egész együtthatós lineáris kombinációi az 1, ..., n-edfokú hatványösszeg-polinomoknak. Mivel az elemi szimmetrikus polinomok egy testből vett együtthatójú szimmetrikus polinomok egy bázisát alkotják, minden n változós szimmetrikus polinom egy $f(p_1,\dots ,p_n)$ polinomfüggvénye a p₁, ..., p_n hatványösszeg-polinomoknak. Tehát a szimmetrikus polinomok gyűrűjét tartalmazza a hatványösszeg-polinomok által generált gyűrű, $\mathbb{\mathbb{Q}}[p_1,\dots ,p_n].$. Mivel minden hatványösszeg-polinom szimmetrikus, a két gyűrű egyenlő. (Ez nem bizonyítja azt, hogy az f polinom egyértelmű.)

Hivatkozások

• Macdonald, I.G. (1979), Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
• Macdonald, I.G. (1995), Symmetric Functions and Hall Polynomials, second ed. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (paperback, 1998).
• Richard P. Stanley (1999), Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1

Kapcsolódó szócikkek

• Reprezentáció elmélet
• Newton-féle azonosságok