Polinom

A matematikában a polinom (avagy többtagú algebrai egész kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai, illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:

p(x,y,z,u) = 5x⁴y⁶ - 3xz³+11y¹⁵u⁷

q(x) = 2x² + 6x + 9

r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (avagy egytagú algebrai egész kifejezésnek) nevezzük (például p-nél az 5x⁴y⁶, a -3xz³ és a 11y¹⁵u⁷ tagok).

Történet

Az $ax+by+cz+du$ egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

Az $x^2+2xy+y^2+2yz+z^2+2zu+u^2+2ux$ egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a 15. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk. Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a 16. században, és ugyanebben az időben terjedt el a „+” jel használata az összeadásra, valamint a „−” jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.

Az elemi algebrában

Az elemi algebrában P(x) egyváltozós polinom, ha:

$P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n,n\ge 0$.

Itt x a polinom változója, n a polinom foka. Vannak többváltozós polinomok is, ezekben több változó szerepel. Egy többváltozós polinom foka az a legnagyobb szám, amit az egyes tagok tényezőinek kitevőinek összeadásával kapunk. Minden kitevőnek nemnegatív egész számnak kell lennie. A polinom tagjaiban a számot együtthatónak, az ismeretlenekből álló szorzatot monomnak vagy egytagnak nevezik. A nulladfokú tag együtthatója konstans tag. Az elsőfokúé lineáris, a másodfokúé kvadratikus, a harmadfokúé kubikus tag. Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük. Például az

$8x^3-7x^2+36$

egy egyváltozós, harmadfokú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36. A valós együtthatós polinomfüggvények értelmezhetők a teljes valós számegyenesen, a komplex együtthatós polinomok pedig értelmezhetők a teljes komplex számsíkon. Nullpolinom az a polinom, aminek összes együtthatója nulla. Ennek foka mínusz végtelen. Ha a főegyüttható egy, akkor a polinom normált. A polinom szimmetrikus, ha bárhogy cseréljük fel (permutáljuk) benne az ismeretleneket, változatlan marad. Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

Egyneműnek nevezünk két (vagy több) monomot, ha csak együtthatóikban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagúak együtthatóit összeadjuk:

$\begin{array}{ccccc}p(x,y)& =& 5x^{2}y& +2x{y}^2& +6y^3\\ q(x,y,z)& =& 2x^{2}y& -7x{y}^2& +8y{z}^6\\ & & & & \\ (p+q)(x,y,z)& =& 7x^{2}y& -5x{y}^2& +6y^3& +8y{z}^6\end{array}$

Az n ismeretlenes polinomoknak az egyneműek összevonása után legfeljebb

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k}),$

k fokú monomja lehet. Az egynemű monomok összevonása után az n-edfokú polinomnak legfeljebb

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})$

monomja lehet. A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például

$p(x,y)=x^2+xy$

$q(x,z)=3x^3-7z^2$

$(p\cdot q)(x,y,z)=x^2\cdot 3x^3+x^2\cdot (-7z^2)+xy\cdot 3x^3+xy\cdot (-7z^2)=$

$=3x^5+(-7)x^2{z}^2+3x^{4}y+(-7)xy{z}^2$

Emellett a számmal való szorzás művelete is értelmes: minden együtthatót beszorzunk az adott számmal. Például

$p(x,y)=5x^{2}y+2x{y}^2+6y^3,$

$3\cdot p(x,y)=3\cdot 5x^{2}y+3\cdot 2x{y}^2+3\cdot 6y^3=15x^{2}y+6x{y}^2+18y^3,$

Ha $f,g$ polinomok, akkor szorzatuk fokszáma becsülhető:

$\mathrm{deg}(f+g)\le \max (\mathrm{deg}f,\mathrm{deg}g)$

Valós, illetve komplex polinomok esetén:

$\mathrm{deg}(f\cdot g)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g.$

A polinomok halmaza zárt a helyettesítésre, azaz ha egy ismeretlenbe mindenhová polinomot helyettesítünk, akkor újra polinomot kapunk. Ez csak akkor igaz, ha a változók számát nem korlátozzuk, mert egy helyettesítés új változókat hozhat be. De ha csak a már meglevő változókat használja, akkor a változók száma megmarad.

Gyűrű fölötti polinomok

Nulladfokú (konstans) polinom, $f(x)=2$ grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes

Elsőfokú (lineáris) polinom, $f(x)=2-x/2$ grafikonja ferde egyenes

Másodfokú polinom, $f(x)=x^2-x-2$ grafikonja parabola

Polinomok tetszőleges gyűrű fölött definiálhatók, ekkor a polinom együtthatói a gyűrű elemei közül kerülnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test, akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a modulo m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is. Ha polinomgyűrű fölött veszünk polinomgyűrűt, akkor többváltozós polinomgyűrűhöz jutunk. A változókat néha határozatlanoknak nevezik. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük. Gyűrű fölötti polinomok esetén az összeg fokának becslésére csak akkor használható a fenti képlet, ha a gyűrű integritási tartomány. Tehát integritási tartomány fölött

$\mathrm{deg}(f\cdot g)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g,$

általános esetben $\le$ a becslés. A szorzat fokának becslése ugyanaz, mint valós fölött. A lineáris algebrában adott n-re a legfeljebb n-edfokú adott test fölötti polinomok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója n + 1. A mátrixok karakterisztikus polinomját többek között a mátrixok diagonalizálásához használják. Ha R gyűrű, akkor R[X] is gyűrű, amit polinomgyűrűnek neveznek. Ez megkapható úgy, mint R bővítése algebrailag független elemmel. A polinomokat egyértelműen lehet jellemezni együtthatóik véges sorozatával, ahol az összeadás tagonkénti összeadás, a szorzat konvolúció, és a konstanssal (gyűrűelemmel) való szorzás is tagonként kell végezni.

$a+b:=(a_n+b_n{)}_{n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0}$

és

$a\cdot b:={\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right)}_{n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0}={\left(\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j\right)}_{n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0},$

Ezzel a polinomgyűrű algebrát alkot. Habár ez a konstrukció nem használja a határozatlant, a behelyettesítés is értelmezhető műveletként. Ezzel behelyettesítési homomorfizmushoz jutunk. Ha az alapgyűrű kommutatív, egységelemes, nullosztómentes, akkor a polinomgyűrű is kommutatív, egységelemes, nullosztómentes lesz. Különböző polinomok definiálhatják ugyanazt a polinomfüggvény, különösen ha vannak nullosztók, vagy ha a test véges. Például legyen $R$ a $\mathbb{\mathbb{Z}}/3\mathbb{\mathbb{Z}}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}$ maradékosztálygyűrű, így az $f,g\in (\mathbb{\mathbb{Z}}/3\mathbb{\mathbb{Z}})[X]$

$f=X(X-\overline{1})(X-\overline{2})=X^3-\overline{3}{X}^2+\overline{2}X=X^3-X$ és a $g=0$ polinomok ugyanazt a függvényt állítják elő. Végtelen integritástartomány esetén ez nem fordulhat elő.

Polinomfüggvények

Harmadfokú polinom, $f(x)=$$\frac{(x+4)(x+1)(x-2)}{4}$ grafikonja

Negyedfokú polinom, $f(x)=$$\frac{(x+4)(x+1)(x-1)(x-3)}{14}+0,5$ grafikonja

Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a

$p:R⟶R;x\mapsto p(x)$

függvényt értjük. Példák: 1. a komplex számok feletti q(z) = iz⁴ + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

g: C $\to$ C; z $\mapsto$ iz⁴ + 3iz - 5

függvény 2. a modulo 5 maradékosztályok feletti r(x) = x⁴ polinom által meghatározott polinomfüggvény a

h: Z₅ $\to$ Z₅; x $\mapsto$ x⁴

Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a

$h_1(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ ha }x=0\\ 1& \text{ ha }x=1,2,3,4\end{array}$

függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h₂(x)= x⁸ polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x⁴ $\ne$ x⁸ (mint polinom), addig h₁ = h₂, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nⁿ db, amennyiben R számossága az n véges szám.

Helyettesítési érték, zérushely, gyök

Ha p ∈ R[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következőképpen jelöljük:

$p(\alpha )=\beta$

Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan q ∈ R[X] polinom, hogy

$p(x)=(x-\alpha )\cdot q(x)$

akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek. Az x₀ ∈ R elem zérushelye a p polinomnak, ha x₀-ben a p helyettesítési értéke 0. Bézout tétele – A p ∈ R[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye. Test fölött nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében, vagy más algebrailag zárt test fölött ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahányadfokú a polinom. Ez az algebra alaptétele. A (multiplicitással számolva) pontosan n gyökű n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$

A jobb oldali alakban $a_n$ a polinom főegyütthatójának, $x_1,x_2,\dots ,x_n$ pedig a polinom gyökeinek felelnek meg. Végtelen gyűrű fölött teljesül a kölcsönös meghatározottság.

Gyökök meghatározása, becslése

Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározásában segít a Rolle-féle gyöktétel. A jelöltek az x=p/q alakú racionális számok, ahol p és q relatív prímek, és p osztója a konstans tagnak, és q osztója a főegyütthatónak. Alacsony fokú, legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei gyökjelekkel meghatározhatók (lásd megoldóképlet). Magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel, ez az Abel-Ruffini-tétel. A páratlan fokú valós együtthatós polinomoknak van legalább egy valós gyökük. Az együtthatók és a fok alapján a gyökökre valós és komplex esetben is becslést lehet adni. Valós esetben a $B\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$ gyökkorlát, ha a polinom összes gyöke a $[-B,B]$ intervallumban található, vagyis a gyökök abszolút értéke nem nagyobb B-nél. B felső gyökkorlát, ha a polinom minden gyöke legfeljebb B. Hasonlóan definiálható az alsó gyökkorlát is. A korlátokat normált, azaz 1 főegyütthatójú polinomokra adják meg; azonban mivel a nullától különböző konstanssal való szorzás (nullosztómentes esetben) nem változtatja meg a gyököket, a gyökök becsléséhez végig lehet osztani a főegyütthatóval. Legyen ekkor $N=\{k\in \{0,1,\dots ,n-1\}\mid a_k<0\}$ a negatív együtthatók halmaza. Ennek méretét a továbbiakban $|N|$ jelöli.

• Cauchy-szabály: egy felső gyökkorlát, $B=\max \{{(|N|\cdot |a_i|)}^{\frac{1}{n-i}}|i\in N\}$
• Newton-szabály: egy felső gyökkorlát, $B=\min \{x\in \mathbb{ℝ}:f^{(i)}(x)\ge 0\text{ minden }i=0,\dots ,n\}$
• Lagrange és Maclaurin szabálya: egy felső gyökkorlát, $B=1+\sqrt[n-k]{\alpha }$, ahol $\alpha =\max \{|a_m|:a_m<0\}$ a legnagyobb abszolút értékű negatív együttható abszolút értéke, és $k=\max \{m:a_m<0\}$ a legmagasabb kitevős negatív együttható kitevője.
• Minden $B\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$, amire teljesül, hogy $B^n\ge \sum _{i=0}^{n-1}|a_i|B^i$, gyökkorlát, ami a komplex gyökök abszolút értékét is behatárolja. Ennek speciális esetei Gerschgorin tételei:
  • $B=1+\max {\mathrm{\backslash nolimits}}_{i=0,\dots ,n-1}|a_i|$ és
  • $B=\max (1,\sum _{i=0}^{n-1}|a_i|)$.

Komplex gyökkorlátok esetén is a gyökök abszolútértékét határolják be. B komplex gyökkorlát, ha a polinom gyökei a nulla középpontú, B sugarú körben helyezkednek el. Egyes alkalmazásokban néhány, adott számú gyökre is értelmeznek gyökkorlátot. Komplex gyökkorlát minden $B\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$, amire $|a_k|B^k\ge \sum _{i\in \{0,\dots ,n\}\setminus \{k\}}|a_i|B^i$ teljesül. Ekkor a nulla körüli, B sugarú kör pontosan k gyököt tartalmaz. Az egyenlet mindig megoldható $k=0,n$ esetén, de a közbenső számokra nem biztos. Ez Rouché tételének következménye. $k=n$ esetén a fent már említett egyenlet adódik. A $k=0$ eset egy gyököktől mentes körlapot ad. Ekkor $1/B$ a reciprok polinom gyökkorlátja. Ha f polinom, akkor reciprok polinomja $x^{n}f(1/x)/a_0$.

Helyettesítési érték kiszámítása: a Horner-módszer

A gyökök meghatározása magasabb fok és irracionális gyökök esetén nem egyszerű; a Newton-módszerrel becsülhetők. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak, létezik egy módszer, amit William George Horner angol matematikus dolgozott ki. A Horner-elrendezés arra is alkalmas, hogy segítsen a Newton-módszernek a polinom összes gyökének becslésében. A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:

$p(x)=(\dots (a_{n}x+a_{n-1})x+\dots +a_1)x+a_0$

Tehát egy $\alpha$ komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:

$p(\alpha )=(\dots (a_n\alpha +a_{n-1})\alpha +\dots +a_1)\alpha +a_0$

A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:

	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$\dots$	$a_0$
$\alpha$	$a_n$	$\alpha a_n+a_{n-1}$	$\alpha (\alpha a_n+a_{n-1})+a_{n-2}$	$\dots$	$p(\alpha )$

A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk $\alpha$-val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül $a_0$ alatt $\alpha$ helyettesítési értéke áll. Megjegyzések:

1. A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az $x-\alpha$–val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
2. Ha $\alpha$ helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.

Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:

$x^3-5x^2+11x-15$

A feladathoz tartozó Horner-séma:

	1	-5	11	-15
3	1	3$\cdot$1-5=-2	3$\cdot$(-2)+11=5	3$\cdot$5-15=0

Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az $x-3$ polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az $x^2-2x+5$ lesz.

Gyökök és együtthatók közötti összefüggések

Legyenek a polinom együtthatói:$a_n,a_{n-1},\dots a_1,a_0$, a gyökei pedig: $x_1,x_2,\dots x_n$. Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:

$\frac{a_0}{a_n}(-1{)}^n=x_1{x}_2\dots x_n$

$\frac{a_1}{a_n}(-1{)}^{n-1}=(x_1\dots x_{n-1}+\dots +x_2\dots x_n)$

$\dots$

$\frac{a_{n-2}}{a_n}(-1{)}^2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+\dots +x_{n-1}{x}_n$

$\frac{a_{n-1}}{a_n}(-1)=x_1+x_2+\dots +x_n$

Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy $p(x)$ gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal. Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:

$p(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=a_2(x-x_1)(x-x_2)$

$a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=a_2{x}^2-a_{2}x(x_1+x_2)+a_2{x}_1{x}_2$ Ezekből adódik tehát hogy: $a_1=-a_2(x_1+x_2)$ és $a_0=a_2{x}_1\cdot x_2$

Analízis

A polinomok egyszerűen deriválhatók és integrálhatók:

$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$

deriváltja

$\begin{array}{rl}{P}^{\prime }(x)& =a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}\\ & =\sum _{i=1}^{n}i{a}_i{x}^{i-1}=\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}{x}^i.\end{array}$

egy primtív függvénye

$\begin{array}{rl}\int P(x)\mathrm{d}x& =a_{0}x+\frac{1}{2}{a}_1{x}^2+\frac{1}{3}{a}_2{x}^3+\cdots +\frac{1}{n+1}{a}_n{x}^{n+1}\\ & =\sum _{i=0}^n\frac{a_i}{i+1}{x}^{i+1}=\sum _{i=1}^{n+1}\frac{a_{i-1}}{i}{x}^i.\end{array}$

Ezek a műveletek sem vezetnek ki a polinomok közül. Más függvények közelíthetők polinomokkal, például Taylor-sorral, interpolációval, Bernstein-polinomokkal. A valós és a komplex polinomok hatványok lineáris kombinációi, ezért lassabban nőnek, mint bármely exponenciális függvény, aminek kitevője egynél nagyobb. A páratlan fokú valós polinomok értékkészlete $\mathbb{ℝ}$, azaz szürjektívek. Ha a főegyüttható pozitív, akkor $-\mathrm{\infty }$-ből jönnek, majd ingadoznak egy szakaszon, utána $+\mathrm{\infty }$-be mennek. Ha a főegyüttható negatív, akkor $+\mathrm{\infty }$-ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd $-\mathrm{\infty }$-be mennek. A páros fokú polinomok értékkészlete pozitív főegyütthatóval $[y_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},\mathrm{\infty }[$, és negatív főegyütthatóval $]-\mathrm{\infty },y_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]$. Menetük: pozitív főegyütthatóval $+\mathrm{\infty }$-ből érkeznek, ingadoznak egy szakaszon, majd $+\mathrm{\infty }$-be mennek. Negatív főegyütthatóval $-\mathrm{\infty }$--ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd $-\mathrm{\infty }$-be mennek. A polinomok végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomokról. Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.

Interpoláció

Az interpoláció módszerének segítségével $n$ különböző komplex számpárra, vagyis $n$ pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető (n–1)-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.

Bizonyítás

Legyenek az adott pontpárok a következők: $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots (x_n,y_n)$. Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha $p(x)$ és $q(x)$ két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor $p(x)-q(x)$ egy olyan legfeljebb ($n-1$)-ed fokú polinom, amelynek $x_1,x_2,\dots ,x_n$ gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha $p(x)-q(x)\equiv 0$, vagyis $p(x)=q(x)$. Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:

$l_i(z)=\frac{(z-x_1)\dots (z-x_{i-1})(z-x_{i+1})\dots (z-x_n)}{(x_i-x_1)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}=\prod _{j=1}^n\frac{(z-x_j)}{(x_i-x_j)}$

Ezekre $l_i(x_i)=1$ és $l_i(x_j)=0$, ha $i\ne j$. Tehát a $p(z)=\sum _{i=1}^n{y}_i{l}_i(z)$ polinom teljesíti a feltételeket.

Példa

Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2), (1;4); ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok: $l_1(x)=\frac{(x-0)(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}=\frac{1}{2}(x^2-x)$ $l_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{(0+1)(0-1)}=-1(x^2-1)$ $l_3(x)=\frac{(x+1)(x-0)}{(1+1)(1-0)}=\frac{1}{2}(x^2+x)$ Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz: $p(x)=1\cdot (\frac{1}{2}(x^2-x))+2\cdot (-1(x^2-1))+4\cdot (\frac{1}{2}(x^2+x))=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$

Általánosítások

A hatványsorok alakja:

$f=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{X}^i$

Ha nem foglalkozunk a konvergenciával, akkor a hatványsor formális, ami nem mindig állít elő függvényt. Ha egy bizonyos tartományon (nemcsak egy pontban) konvergens, és előállítja a függvényt, akkor egy analitikus függvényhez jutunk, amit újra vizsgálni lehet. A Laurent-sorok alakja:

$f=\sum _{i=-N}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{X}^i.$

A Laurent-sorok a hatványsorokhoz hasonlóan vizsgálhatók. Ha az összeg véges, de a monomokban tetszőleges valós hatványkitevőket megengedünk, akkor poszinomiális függvényekhez jutunk.

További információk

• Alice és Bob - 26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Polinom témájú médiaállományokat.

• Horváth Erzsébet: Lineáris algebra (Műegyetemi Kiadó, 2002)
• Konsztantyin Alekszejevics Ribnyikov: A matematika története (Tankönyvkiadó, Budapest, 1968)
• Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai
• Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage.
• Holz, Wille: Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polynom című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.