Polinomok számelmélete

A polinomok számelmélete, a matematika algebrai számelmélet nevű ága egyik fejezeteként, olyan számelméleti eredetű fogalmakat vizsgál és általánosít polinomokra, mint pl. az oszthatóság, az irreducibilitás és reducibilitás (felbonthatatlanság és felbonthatóság), a maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös vagy a prímfaktorizáció.

Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek

Az egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok tekinthetők olyan véges sok nem nulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:

$x^2+5x+6\cong (6,5,1,0,0,0,0,\dots )$

Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legnagyobb nem nulla indexe (az indexelést 0-ról indítjuk). Például, ha a ∈ R nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,…) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,…) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legnagyobb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).

Összeadás

Az ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:

$(p+q{)}_i=p_i+q_i$

Például

$(x^3-5x+10)+(2x^3-x^2+x-10)=3x^3-x^2-4x$

Szorzás

A polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:

$p\cdot q=\begin{array}{ccccc}{p}_0{q}_0& p_0{q}_1& p_0{q}_2& p_0{q}_3& \dots \\ p_1{q}_0& p_1{q}_1& p_1{q}_2& \dots \\ p_2{q}_0& p_2{q}_1& \dots \\ p_3{q}_0& \dots \\ \dots \end{array}=$

$=(p_0{q}_0,p_0{q}_1+p_1{q}_0,p_0{q}_2+p_1{q}_1+p_2{q}_0,\dots )={\left(\sum _{k=0}^i{p}_k{q}_{i-k}\right)}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}$

Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni. Például

$\begin{array}{rl}(x^3-5x+10)\cdot (2x^3-x^2+x-10)& =(x^3\cdot 2x^3)+(x^3\cdot (-x^2))+(x^3\cdot x)+(x^3\cdot (-10))+\\ & +((-5x)\cdot 2x^3)+((-5x)\cdot (-x^2))+((-5x)\cdot x)+((-5x)\cdot (-10))+\\ & +(10\cdot 2x^3)+(10\cdot (-x^2))+(10\cdot x)+(10\cdot (-10))=\\ & =2x^6-x^5-9x^4+15x^3-15x^2+60x-100\end{array}$

Polinomgyűrű

A polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. R[X] a fenti két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nem nulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.

Maradékos osztás

Gyűrű felett

Ha R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmesen definiálható a maradékos osztás művelete az alábbi korlátozott módon. Minden a,b ∈ R[X]-re, ha b főegyütthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,r ∈ R[X], hogy

1. $a=q\cdot b+r$ és

2. $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(r)<\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(b)$ vagy $r=0$

Például Z[X]-ben x³ + x = x$\cdot$x² + x (itt deg(x) < deg(x²)). A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy

3x + 4 =3$\cdot$(x+1)+1, ahol |1| < |3|

azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindkettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolút érték, Z[X]-ben viszont a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.

Test felett

Ha T kommutatív test, akkor minden a, b ∈ T[X]-re, egyértelműen létezik olyan q, r ∈ T[X], hogy

1. $a=q\cdot b+r$ és

2. $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(r)<\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(b)$ vagy $r=0$

Számelméleti tulajdonságok

Az alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak. Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:

$f(x)=g(x)\cdot h(x)$

Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradékul.

Az oszthatóság tulajdonságai

• $f(x)|g(x)$ és $g(x)|h(x)$ akkor $f(x)|h(x)$
• $f(x)|g(x)$ akkor $f(x)|g(x)h(x)$ ha $h(x)\ne 0$
• $f(x)|g_1(x)$ és $f(x)|g_2(x)$ akkor $f(x)|g_1(x)h_1(x)+g_2(x)h_2(x)$ ahol $h_1(x)$ és $h_2(x)$ tetszőlegesek.
• $f(x)|g(x)$ akkor $f(x)|cg(x)$ és $cf(x)|g(x)$ ahol $c$ tetszőleges, második esetben nemnulla konstans.
• Ha $f(x)|g(x)$ és $g(x)|f(x)$ akkor $f(x)=cg(x)$

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

$h(x)$-re azt mondjuk, hogy $f(x)$ és $g(x)$ közös osztója, ha $h(x)$ osztója $f(x)$-nek és $g(x)$-nek Egy $d(x)$ polinomot az $f(x)$ és $g(x)$ polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha $d(x)$ $f(x)$ és $g(x)$ közös osztója, valamint osztható $f(x)$ és $g(x)$ bármely közös osztójával. Jelölés: $d(x)=(f(x),g(x))$ Hasonló módon $h(x)$-re azt mondjuk, hogy $f(x)$ és $g(x)$ közös többszöröse, ha $h(x)$-nek osztója $f(x)$-nek és $g(x)$ is. Egy $e(x)$ polinomot az $f(x)$ és $g(x)$ polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha $e(x)$ $f(x)$ és $g(x)$ közös többszöröse, valamint osztja $f(x)$ és $g(x)$ bármely közös többszörösét.

Tulajdonságok

Tetszőleges $f(x)$ és $g(x)$ polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól. Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi algoritmus a polinomok körében is működik.

Irreducibilis polinomok

Egy n-edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek. Állítások irreducibilis polinomokra:

• Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
• Ha $f(x)$ irreducibilis, akkor tetszőleges $c\ne 0$ konstans esetén $cf(x)$ is az.
• Ha $p(x)|f(x)g(x)$ és $p(x)$ irreducibilis, akkor $p(x)|f(x)$ vagy $p(x)|g(x)$.
• Minden $f(x)$ polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan $p_1(x),p_2(x),\dots p_n(x)$ irreducibilis polinomok, hogy $f(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_n(x)$ teljesül.

Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például

• az $x^2-2$ polinom a racionális számok teste felett irreducibilis, a valósaké felett pedig nem:

$x^2-2=(x+\sqrt{2})\cdot (x-\sqrt{2})$

• az $x^2+2$ polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexeké felett pedig nem:

$x^2+2=(x+\sqrt{2}i)\cdot (x-\sqrt{2}i)$

Faktorizálás

A faktorizálás során a polinomot irreducibilis polinomok szorzatára alakítjuk át.