Legkisebb közös többszörös

A 2, 3, 4, 5 és 7 közös többszörösei minden lehetséges kombinációban. Középen az öt szám legkisebb közös többszöröse

A számelméletben két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszörösén (röviden: lkkt) azt a legkisebb pozitív egész számot értjük, amely az egész adott számok mindegyikével osztható. Két vagy több adott szám közös többszörösei a számok legkisebb közös többszöröseinek többszörösei. A legkisebb közös többszöröst leggyakrabban a közönséges törtek közös nevezőre hozásánál használjuk. Jele: [a,b]. A definíció kiterjeszthető az egész számok halmazára, ha azt annak a közös többszörösnek vesszük, ami minden közös többszörösnek osztója. Ez a definíció előjeltől eltekintve egyértelmű.

Kapcsolata a legnagyobb közös osztóval

Két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata egyenlő a két szám szorzatával: (a,b)[a,b]=ab Ez az állítás könnyen belátható törzstényezőkre bontással és a prímtényezők összegyűjtésével. A fenti azonosságból kikövetkeztethető, hogy ha két szám relatív prím egymáshoz, akkor legkisebb közös többszörösük és szorzatuk egyenlő.

Kiszámítása

A prímtényezőkre bontás módszerével

1. lépés: az adott számokat, amelyek legkisebb közös többszörösét keressük, prímtényezőkre bontjuk.
2. lépés: a legkisebb közös többszöröst úgy kapjuk meg, hogy a közös és nem közös tényezőket a legmagasabb hatványon összeszorozzuk.

Jelölés: Az a és b szám legkisebb közös többszöröse: [a,b]. A prímtényezős felbontással kettőnél több szám legkisebb közös többszöröse is számítható. Példa 1: a = 8 = 2³
b = 25 = 5²
c = 4 = 2² tehát: [a,b,c] = 2³ × 5² = 200. Példa 2: [47311; 60401] = ? 47311 = 11² × 17 × 23
60401 = 11 × 17² × 19
tehát: [47311; 60401] = 11² × 17² × 19 × 23 = 15281453.

A legnagyobb közös osztó felhasználásával

Nagy számok esetén a törzstényezős felbontás nehéz feladat, de a legkisebb közös többszörös (lkkt) és a legnagyobb közös osztó (lnko) kapcsolata ekkor is hatékony módszert ad. Ugyanis két szám szorzata egyenlő legnagyobb közös osztójuk, és legkisebb közös többszörösük szorzatával. Ez hatékony módszert ad a legkisebb közös többszörös meghatározására, mivel elég az euklideszi algoritmussal meghatározni a legnagyobb közös osztót, összeszorozni a két számot, majd a szorzatot elosztani a legnagyobb közös osztóval.

$\mathrm{lkkt}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\mathrm{lnko}(a,b)}$

Például:

$\mathrm{lkkt}(21,6)=\frac{21\cdot 6}{\mathrm{lnko}(21,6)}=\frac{21\cdot 6}{\mathrm{lnko}(3,6)}=\frac{21\cdot 6}{3}=\frac{126}{3}=42.$

Háló

Az egész számok részben rendezhetők az oszthatóságra. Ebben a rendezésben az a egész szám nagyobb lesz a b egész számnál, ha a osztható b-vel. Ez a rendezett halmaz hálóvá válik a legnagyobb közös osztó, mint metszet, és a legkisebb közös többszörös, mint egyesítés műveletére.

Lásd még

• Legnagyobb közös osztó

Külső hivatkozások (angol)

• Kapcsolat a legnagyobb közös osztóval
• Online LCM kalkulátor
• Online LCM and GCD calculator - displays also fractions of given numbers
• LCM Quiz
• Algorithm for Computing the LCM
• Least Common Multiple from Wolfram MathWorld