Poszinomiális függvény

A poszinomiális függvények a polinomok általánosításai, ahol is minden valós kitevő megengedett. Geometrikus programok megadásához használják őket.

Definíció

Legyen ${\mathbb{ℝ}}_{++}^n:=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n|x_i>0\text{ ha }i=1,\dots ,n\}$, továbbá $c_k>0$ minden $k=1,\dots ,N$ esetén. Ekkor az

$f:{\mathbb{ℝ}}_{++}^n\to \mathbb{ℝ}$

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^N{c}_k{x}_1^{a_{1,k}}\cdot \dots \cdot x_n^{a_{n,k}}$

függvények poszinomiális függvények. A kitevők valósak, $a_{i,j}\in \mathbb{ℝ}$. Ha az összeg egyetlen tagból áll, akkor monomiális függvényről van szó.

Példák

Az

$f(x_1,x_2)=\frac{\sqrt{x_1}{x}_2+x_2^{2,3}}{x_1{x}_2}$

függvény poszinomiális, normálalakja

$f(x_1,x_2)=x_1^{-0,5}+x_1^{-1}{x}_2^{1,3}$

Az

$f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^{17}{x}_2}{x_3^{\sqrt{2}}}$

függvény monomiális, normálalakja

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^{17}{x}_2{x}_3^{-\sqrt{2}}$

Tulajdonságok

• A poszinomiális függvények zártak szorzásra, összeadásra és skalárral való szorzásra.
• A monoszinomiális függvények zártak szorzásra, osztásra és skalárral való szorzásra.
• A poszinomiális függvények (konvex) kúpot alkotnak az ${\mathbb{ℝ}}_{++}^n\to \mathbb{ℝ}$ függvények terében. Ebben a monoszinomiális függvények részkúpot alkotnak.

Források

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Posynomialfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.