Rouché tétele

Rouché tétele a komplex függvénytan egy tétele. Arról tesz kijelentést, hogy milyen függvényekkel lehet módosítani egy holomorf függvényt ahhoz, hogy a nullhelyek száma ne változzon. A meromorf függvényekre vonatkozó kiterjesztése a nullhelyek és a pólushelyek különbségéről tesz hasonló kijelentést.

Geometriai megjelenítés

Mivel a görbék közötti távolság kicsi, h(z) pontosan egyszer fordul körbe, ahogy f(z) is

A tételt jobban megmutatja egy informális, geometriai megjelenítés. Legyen C egyszerű zárt görbe (nem önátmetsző). Legyen h(z) = f(z) + g(z). Ha f és g holomorfak C belsejében, akkor h-nak is holomorfnak kell lennie C belsejében. Ekkor a tétel azt állítja, hogy:

Ha |f(z)| > |h(z) − f(z)|, minden C-beli z-re, akkor f és h zérushelyeinek száma megegyezik C belsejében.

Jegyezzük meg, hogy az |f(z)| > |h(z) − f(z)| feltétel azt jelenti, hogy minden z-re f(z) távolsága a nullától nagyobb, mint h(z) − f(z) hossza, ami azt jelenti, hogy az ábrán a kék görbe minden pontjára az onnan nullához húzott vonal hosszabb, mint a hozzá asszociált zöld szakasz. Informálisan, a kék f(z) görbe közelebb van a piros h(z) görbéhez, mint a nullához. Az előzőek szerint h(z) pontosan annyiszor kerüli meg az origót, mint f(z). Ezért a görbék nulla körüli indexe ugyanaz, így az argumentumelv alapján f(z) és h(z) nullhelyeinek számának meg kell egyeznie. Ennek egy népszerű megfogalmazása a kutya meg a fája. A kutya póráza mindig rövidebb, mint a gazda távolsága a fától. Ekkor a kutya ugyanannyiszor kerüli meg a fát, mint a gazdája.

Állítás holomorf függvényekre

Legyenek az $f,g\in {\mathscr{H}}(G)$ függvények holomorfak a $G\subset \mathbb{ℂ}$ tartományon. Legyen továbbá $B(z_0,r)\cup \partial B(z_0,r)$ a határával együtt G része, és a $z\in \partial B(z_0,r)$ peremen teljesüljön, hogy:

$|g(z)|<|f(z)|$.

Ekkor $f$ és $f+g$ nullhelyeinek száma multiplicitással megegyezik a $B(z_0,r)$ körlapon. Ahol $B(z_0,r)$ a $z_0$ közepű, r sugarú körlap.

Szimmetrikus változat

Az $f,g\in {\mathscr{H}}(G)$ holomorf függvények nullhelyeinek száma megegyezik a folytonos peremű $\partial K$, $K\subset G$ korlátos tartományon, ha a peremen teljesül a

$|f(z)+g(z)|<|f(z)|+|g(z)|,\mathrm{\forall }z\in \partial K$

szigorú háromszög-egyenlőtlenség. Theodor Estermann ezt az általánosabb alakot először Complex Numbers and Functions könyvében szerepeltette.

Polinomok gyökkorlátja

A tétel egyik alkalmazása gyökkorlát meghatározása polinomokra. Legyen $p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ komplex együtthatós polinom. Ez holomorf a teljes $\mathbb{ℂ}$-n, tehát legyen $G=\mathbb{ℂ}$. Legyen $k\in \{0,1,\dots ,n\}$ egy index, amire megoldható az

$|a_k|r^k>\sum _{j\ne k}|a_j|r^j$

egyenlőtlenség legalább egy $r>0$ valós számra. Ekkor az $f(x)=a_k{x}^k$ és a $g(x)=p(x)-f(x)$ függvények teljesítik Rouché tételének feltételeit a B(0,r) körlapra. f különbözik nullától, és pontosan egy k-szoros gyöke van nullában. Következik, hogy a p=f+g polinomnak is multiplicitással számolva k gyöke van a B(0,r) körlapon.

Meromorf függvényekre

Legyenek az $f,g$ függvények meromorfak a $G\subset \mathbb{ℂ}$ tartományon, és legyen $B(z_0,r)\cup \partial B(z_0,r)\subset G$ úgy, hogy $f,g$-nek ne legyen pólusa vagy nullhelye a körlap $\partial B(z_0,r)$ határán; továbbá minden $z\in \partial B(z_0,r)$ komplex számra teljesüljön, hogy:

$|g(z)|<|f(z)|$.

Ekkor $f$ és $f+g$ esetén megegyezik a nullhelyek száma - pólushelyek száma különbség.

Bizonyítás meromorf függvényekre

Legyen $h(z)=f(z)+g(z)$. A feltételek szerint:

$\left|\frac{g(z)}{f(z)}\right|<1,\mathrm{\forall }z\in \partial B(z_0,r)$.

Mivel a körvonal kompakt, van neki egy $U=\partial B(z_0,r)+B(0,ϵ)$ környezete, amiben az egyenlőtlenség teljesül. Az f/g függvény értékeit B(0,1)-ből veszi fel, ezért:

$\frac{h(z)}{f(z)}=\frac{f(z)+g(z)}{f(z)}=1+\frac{g(z)}{f(z)}\in B(1,1),\mathrm{\forall }z\in U$.

A nyílt $B(1,1)$ körlapon értelmezve van a logaritmus holomorf főága, és:

$\log {\left(\frac{h}{f}\right)}^{\prime }=\frac{h^{\prime }}{h}-\frac{f^{\prime }}{f}$.

Tekintsük most a következő intervallumot:

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial B(z_0,r)}(\frac{h^{\prime }}{h}-\frac{f^{\prime }}{f})dz$.

Az integrandusnak van primitív függvénye, tehát:

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial B(z_0,r)}(\frac{h^{\prime }}{h}-\frac{f^{\prime }}{f})dz=0$.

Az argumentumelv szerint a reziduumtétel kiterjesztése is teljesül:

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial B(z_0,r)}(\frac{h^{\prime }}{h}-\frac{f^{\prime }}{f})dz=(z_h-p_h)-(z_f-p_f)$

ahol $z_f$ az $f$ függvény nullhelyeinek számát jelenti $B(z_0,r)$-ben, és $p_f$ $f$ pólushelyeinek számát $B(z_0,r)$-ben. Tehát:

$(z_h-p_h)-(z_f-p_f)=0$ bzw. $(z_h-p_h)=(z_f-p_f)$

Források

Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von Rouché című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként. Ez a szócikk részben vagy egészben a Rouché's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.