Meromorf függvények

A meromorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény meromorf a komplex sík egy $D$ nyílt halmazán, ha itt minden szingularitása izolált pólus. (Az elnevezés az ógörög „meros” (μέρος), magyarul rész, szóból ered, arra utalva, hogy a függvény nem differenciálható a teljes halmazon, csak egy részén. Minden $D$-n meromorf $f$ függvény kifejezhető két ($D$-n) holomorf függvény hányadosaként: $f=g/h$ (ahol $h$ nem konstans 0), ekkor $h$ gyökei éppen $f$ pólusai lesznek. Mivel $h$ holomorf, ezért ekkor csak izolált pontokban veheti fel a nulla értéket.

Definíció

Legyen $D\subseteq \mathbb{ℂ}$ nemüres nyílt halmaz, $P\subseteq D$ az izolált pólusok halmaza.

$f:D\setminus P\to \mathbb{ℂ}$

komplex függvény meromorf (a $D$ halmazon) ha $f$ holomorf a $D\setminus P$ halmazon. Riemann-felületeken a definíció hasonló: Legyen $Y$ nyílt részhalmaz $Y$-ben. $f$ meromorf az $Y$ halmazon, ha $Y^{\prime }\subset Y$ nyílt, és:

• $f:Y^{\prime }\to \mathbb{ℂ}$ holomorf.
• $P_f:=Y\setminus Y^{\prime }$ izolált pontokból áll.
• minden $p\in Y\setminus Y^{\prime }$ pontra $\underset{x\to p}{\lim }|f(x)|=\mathrm{\infty }$.

Az $Y\setminus Y^{\prime }$ halmaz az $f$ függvény pólusait tartalmazza. Az $Y$ halmazon meromorf függvények halmazát ${ℳ}(Y,\mathbb{ℂ})$ jelöli. Ha $Y$ összefüggő, akkor ez egy test, amiben a holomorf függvények integritási tartományt alkotnak. Ha $X$ komplex részhalmaz, akkor visszajutunk a komplex definícióhoz. Nem kompakt Riemann-felületeken a meromorf függvények éppen a holomorfak hányadosai. Kompakt Riemann-felületeken csak konstans holomorf függvények vannak, nem konstans meromorf függvények lehetnek. Az elliptikus görbéken értelmezett meromorf függvényeket elliptikus függvényeknek nevezik.

Példák

A gamma-függvény meromorf a teljes komplex síkon

• Polinomfüggvények hányadosai, azaz a racionális függvények meromorfak a komplex síkon. Racionális függvény például az alábbi hozzárendelés:

$z\mapsto \frac{z^3-2z+10}{z^5+3z-1}$

• Meromorf a gamma-függvény is a teljes komplex síkon.
• A Riemann-féle zéta függvény is meromorf a teljes komplex síkon.
• Meromorfak a teljes komplex síkon alábbi hozzárendelések is:

$z\mapsto \frac{e^z}{z}$

$z\mapsto \frac{\sin z}{(z-1{)}^2}$

Ellenpéldák

Az

$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

függvény, bár az origón kívül mindenhol értelmezve van, nem meromorf a komplex síkon, mivel a 0-beli szingularitása nem pólus, hanem lényeges szingularitás. Viszont meromorf (mivel holomorf) a $\mathbb{ℂ}\setminus \{0\}$ halmazon.

• Ehhez hasonlóan az

$f(z)=\frac{z}{e^z-1}$

függvénynek minden $z=2n\pi i,(n\in \mathbb{\mathbb{Z}})$ alakú pontban szingularitása van, de nem meromorf $\mathbb{ℂ}$-n, mivel a 0-beli szingularitása megszüntethető szingularitás: $\underset{z\to 0}{\lim }f(z)=1$, tehát nem pólus.

• A komplex logaritmusnak

$f(z)=\ln (z)$

nincs a teljes komplex síkon meromorf ága, mivel nem definiálható úgy, hogy csak izolált pontokat zárunk ki az értelmezési tartományból.

• Az $f(z)=\frac{1}{\sin \left(\frac{1}{z}\right)}$ függvény nem meromorf, mivel $z=0$ a pólusok torlódási pontja, ezért nem izolált szingularitás.

Tulajdonságok

Mivel a meromorf függvény pólusai izoláltak, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok lehet belőlük. Számosságuk azonban nem feltétlenül véges. Az alábbi példában f megszámlálhatóan végtelen sok pólussal rendelkezik:

$z\mapsto f(z)=\frac{1}{\sin z}.$

Többváltozós eset

Többváltozós esetben a holomorf függvények hányadosaként definiálják a meromorf függvényeket. Például $f(z_1,z_2)=z_1/z_2$ meromorf a kétdimenziós komplex affin téren. Itt már nem igaz, hogy a meromorf függvények holomorf függvénynek tekinthetők a pólusokon kívül, aminek értékei a Riemann-gömbből veszi fel; van egy két kodimenziós határozatlansági halmaz; a példában ez egy pont, a $(0,0)$. Magasabb dimenziókban vannak komplex sokaságok, ahol nincsenek nem konstans meromorf függvények. Ilyenek például a komplex tóruszok.

Irodalom

• Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 
• Lang, Serge (1999), Complex analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98592-3
• Zassenhaus, Hans (1937), Lehrbuch der Gruppentheorie (1st ed.), Leipzig, Berlin: Verlag und Druck von B.G.Teubner
• Lang, Serge (1999). Complex analysis (4th ed.). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98592-3.