Számosság

A halmazelméletben a számosság fogalma a „halmazok elemszámának” az általánosítása a véges (azaz véges számosságú) halmazokról a végtelen (azaz végtelen számosságú) halmazokra. Véges halmazok esetében a számosság megegyezik tehát a halmaz elemeinek a számával, amely természetes szám, beleértve a nullát is, s ez az üres halmaz elemszámának felel meg. A halmazok számosságának a jelölésére is ugyanazt a jelölést használjuk, mint a véges halmazok esetén a halmazok elemszámának a jelölésére, azaz tetszőleges $H$ halmaz számosságának vagy kardinális számának a jele: $|H|$.

Számosságok relációi

Egyenlőség

Legyen $A,B$ két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy az $A$ és $B$ halmazok ekvivalensek (vagy más szóval egyenlő számosságúak), ha létezik $A\to B$ bijektív leképezés. Megjegyzés: A halmazok ekvivalenciája halmazok tetszés szerinti halmazában ekvivalenciareláció.

Kisebb-nagyobb reláció

Legyen $A,B$ két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy $|A|\le |B|$, ha létezik $f:A\to B$ injektív leképezés, ami $A$ minden eleméhez $B$ más-más elemét rendeli, azaz $A$ ekvivalens $B$ egy részhalmazával. Ha létezik ilyen injektív leképezés, de $A$ $B$-vel magával már nem ekvivalens, azaz nincs megfelelő bijektív leképezés, akkor $B$ számossága nagyobb, mint $A$ számossága. Jele: $|A|<|B|$.

Cantor-Bernstein-tétel

Belátható a következő (végtelen halmazok esetében nem triviális) tétel: Ha $|A|\ge |B|$ és $|A|\le |B|$, akkor $|A|=|B|$. Alternatív megfogalmazás: Ha az $A$ és $B$ halmazok között léteznek $f:A\to B$ és $g:B\to A$ injektív leképezések, akkor létezik egy $h:A\to B$ injektív ráképezés (bijekció) is. Azaz, ha létezik olyan $f$ függvény, ami az $A$ halmaz elemeihez a $B$ halmaz különböző elemeit rendeli, és egy $g$ függvény, ami $B$ elemeihez $A$ különböző elemeit rendeli, akkor létezik olyan $h$ függvény is, mely $A$ és $B$ elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít. A tétel szemléletesen értelmezve azt jelenti, hogy a halmazok számosságai a rendezési (kisebb-nagyobb) relációjukra nézve láncot alkotnak (a számosságok rendezése trichotom jellegű), azaz ha a és b halmazok (nem feltétlenül finit) elemszámai, akkor az a<b, a=b és a>b lehetőségek közül pontosan egy teljesül.

Megszámlálható halmaz

A véges halmazokat és a megszámlálhatóan végtelen halmazokat megszámlálható halmazoknak nevezzük.

Véges halmaz

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amellyel ekvivalens. Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges $A$ halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ természetes számra létezik $\{0,...,n-1\}\to A$ bijekció, beleértve az üres halmazt is $n=0$ esetén. (Vagy másképpen: $A$ véges halmaz, ha létezik $n$ természetes szám és $b:n\to A$ bijekció, ahol $n$ Neumann-féle halmazelméleti definíciója $0=\mathrm{\varnothing },1=\{0\},2=\{0,1\},\dots$ )

Példák

• Legyen $A=\{1,3,7,21\}$. Ekkor $|A|=4$.
• A $H$ véges halmaz hatványhalmazának a számossága $2^{|H|}$.

Megszámlálhatóan végtelen halmaz

Azt mondjuk, hogy a $H$ halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha létezik $H\to \mathbb{\mathbb{N}}$ bijekció, ahol $\mathbb{\mathbb{N}}$ a természetes számok halmaza.

Jelölés

A természetes számok halmaza, illetve a megszámlálhatóan végtelen halmazok számosságát Georg Cantor után szokásosan ${\mathrm{\aleph }}_0$ (ejtsd: alef null, ahol az alef karakter a héber ábécé első betűje) jelöli. Ez a legkisebb végtelen számosság (ezért is a nulla alsó index).

Következmények

• A természetes számokkal való bijekció pont azt jelenti, hogy ezek a halmazok sorba rendezhetőek. (Hiszen minden halmazbeli elemhez egy-egy értelmű megfeleltetéssel egy sorszámot rendelünk.)
• A halmazelmélet szokásos felépítésében, a ZFC-axiómarendszer esetén igaz az az állítás, hogy tetszőleges végtelen halmaznak van ${\mathrm{\aleph }}_0$ számosságú részhalmaza. Más axiómarendszerekben ez nem feltétlenül teljesül (például az ún. ZFU-ban).

Példák

• A természetes számok halmaza ($\mathbb{\mathbb{N}}$) megszámlálhatóan végtelen sok elemű, hiszen a természetes számok egy-egy értelműen megfeleltethetők a természetes számoknak: minden egyes természetes számhoz hozzárendeljük önmagát mint sorszámot.
• Az egész számok halmaza ($\mathbb{\mathbb{Z}}$) megszámlálható, mivel számossága egyenlő a természetes számok számosságával. Ezt könnyű belátni, hiszen legyen a leképező függvényünk a következő: $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (x\ge 0)\\ -2x-1& (x<0)\end{array}$

Azaz minden nemnegatív számhoz rendeljük a páros számokat és minden negatívhoz a páratlanokat. Ez egy jó példa arra, hogy végtelen halmazok esetében lehetséges, hogy egy halmaz és annak egy valódi részhalmaza egyenlő számosságú.

• A racionális számok halmaza ($\mathbb{\mathbb{Q}}$) megszámlálhatóan végtelen. Ugyanis minden pozitív racionális szám egyértelműen felírható $\frac{p}{q}$ alakban, ahol p és q pozitív egész számok relatív prímek. A (p, q) számpárt értelmezhetjük úgy, mint egy P pont koordinátáját a síkon. Minden ilyen P egy egész koordinátájú rácspontra esik. Az egész koordinátájú rácspontokat viszont az alábbi ábrán látható lila út mentén a balfelső sarokból kezdve sorra fel lehet keresni visszatérés nélkül, így a P pontok is sorba rendezhetők a bejárási út mentén, sorrendjük szerint pedig egyértelműen megfeleltethetők a természetes számoknak.

Az egész rácspontok bejárási útja

Hasonlóan belátható, hogy a negatív racionális számok is megszámlálhatóan végtelen sokan vannak. A pozitív és a negatív racionális számok együtt is megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, mivel össze tudjuk őket fésülni az egész számok példájában látott leképezéssel. Már csak a 0 maradt ki: tegyük a nullát a számlálásunk legelejére, az 1. pozícióba, a többi racionális szám megszámlálását pedig ismételjük meg a fenti módon, csak éppen a 2. sorszámtól!

Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül

• Ha A megszámlálható és a tőle diszjunkt B halmaz véges, akkor $A\cup B$ is megszámlálható.
• A diszjunkt A és B halmazok egyesítésének s számossága csak A és B számosságától függ, vagyis ha A és B helyére a velük egyenlő számosságú A’, illetve B’ halmazokat tesszük úgy, hogy A’ és B’ diszjunktak, akkor utóbbiak egyesítésének a számossága is s lesz.
• Ha véges sok (mondjuk k darab) diszjunkt A_i halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor $A=\bigcup _{i=1}^k{A}_i$ is megszámlálható.
• Megszámlálható sok diszjunkt A_i halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor az egyesítésük, vagyis $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$ halmaz is megszámlálható.
• $\mathbb{\mathbb{N}}$ összes véges részhalmazainak a halmaza is megszámlálható.

Kontinuum halmaz

Azt mondjuk, hogy a $H$ halmaz kontinuum számosságú, ha létezik $H\to \mathbb{ℝ}$ bijekció, ahol $\mathbb{ℝ}$ a valós számok halmaza.

Jelölés

A kontinuum számosságot Cantor $\mathfrak{𝔠}$-vel (gót c) jelölte.

Példa

A „legegyszerűbb” ilyen halmaz a [0,1] zárt intervallumba tartozó valós számok halmaza. Ennek számossága kontinuum. Lássuk ezt be! Ez a $|H|$ számosság legalább megszámlálhatóan végtelen (hisz $H$ tartalmazza például a nyilvánvalóan megszámlálhatóan végtelen $\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}$ részhalmazt). Indirekt tegyük fel, hogy $H$ megszámlálhatóan végtelen, vagyis elemeit valamilyen (v₁, v₂, …) sorrendbe rendezhetjük. Minden ilyen v_i egy 0 és 1 közötti valós szám, felírható tehát végtelen tizedes törtként 0,v_i1v_i2v_i3… alakban. (Ez a felírás nem egyértelmű, pl.: 0,5000 = 0,49999…. Ezért most az egyértelműség kedvéért zárjuk ki azt a felírási módot, ahol egy idő után csupa kilences következik.) Az indirekt feltevés szerint tehát a 0,v₁₁v₁₂v₁₃… 0,v₂₁v₂₂v₂₃… 0,v₃₁v₃₂v₃₃… … sorozat $H$ minden elemét tartalmazná. A táblázat „átlója” mentén végighaladva készítsünk egy olyan w valós számot, melynek w=0,w₁w₂w₃… tizedestört alakjához úgy jutunk, hogy ha v_ii = 1 volt, akkor legyen w_i = 2, ha pedig v_ii ≠ 1 volt, akkor legyen w_i = 1. Ez a w szám biztos nem szerepelhetett a fenti táblázatban, hisz bármely j-re elmondható, hogy v_j szám j-edik tizedesjegye különbözik a w szám j-edik tizedesjegyétől. Mivel így nem minden 0 és 1 közötti valós szám szerepel a felsorolásban, ellentmondásra jutunk, tehát $|H|$ nem lehet megszámlálható.

Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül

• Legyen A egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz, B pedig egy tőle diszjunkt, kontinuum számosságú halmaz. Ekkor $|A\cup B|=|B|$.
• Megszámlálhatóan végtelen halmaz hatványhalmaza épp kontinuum számosságú.

Megjegyzés

• Struktúra számosságán a struktúra alaphalmazának számosságát értjük.

Kapcsolódó szócikkek

• Mérhető számosság
• Kontinuumhipotézis
• Cantor-tétel
• Számossági adaptációs hatás

További információk

• A végtelenen túl (YouProof, Moldvai Dávid)
• A Végtelen Szálló paradoxona (YouTube, TED-Ed, Jeff Dekofsky; magyar felirat lent bekapcsolható hozzá)

Külső hivatkozások

• Rédei László: Algebra (Akadémiai, 1954) I. kötet
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika (Polygon – JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994)
• Hajnal András – Hamburger Péter: Halmazelmélet (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1994) 3. kiadás. ISBN 963-18-5998-3