Kontinuumhipotézis

A kontinuumhipotézis a matematika halmazelmélet nevű ágának egyik kijelentése („igazságértékére” vonatkozóan lásd később), amit Cantor vetett fel kérdésként, amikor a Cantor-tételben rámutatott, hogy többféle rendű végtelen számosságú halmaz létezik a halmazelméletben. Legközérthetőbb formájában kontinuumhipotézisen a következőt értjük:

a valós számok minden végtelen részhalmaza vagy magával a valós számok halmazával, vagy a természetes számokkal azonos számosságú.

Másképp fogalmazva:

nincs olyan halmaz, amelynek számossága a valós számok számossága (kontinuum-számosság) és a természetes számok számossága (megszámlálhatóan végtelen) közé esne.

A feladat és megoldása

A Cantor-tétel azt állítja, hogy ha H tetszőleges halmaz, akkor a H halmaz és a P(H) halmaz (H hatványhalmaza) számosságára érvényes a következő „szigorú” egyenlőtlenség:

$|H|<|{𝒫}(H)|$

Tehát végtelen halmazból nem egyféle van, mert egy végtelen halmaz hatványhalmaza „végtelenebb”, vagy magasabb rendűen végtelen, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy nem feleltethető meg a két halmaz egymásnak úgy, hogy az egyik halmaz egy elemét a másik halmaz pontosan egy eleméhez rendeljük és fordítva. A legegyszerűbb végtelen halmaz a természetes számok N halmaza. Cantor azt is bebizonyította, hogy a valós számok R halmaza ennél magasabbrendűen végtelen (belátható ugyanis, hogy R-ben ugyanannyi elem van, mint P(N)-ben, azaz N hatványhalmazában). Minthogy a végtelen halmazok jellegzetes (karakterisztikus) tulajdonsága, hogy azonos számosságú egy valódi részhalmazával, felvethető a kérdés, hogy R-ben saját magával és N-nel azonos számosságú részhalmazain kívül van-e más végtelen számosságú részhalmaz. A kontinuumhipotézist Hilbert olyan súlyú kérdésnek ítélte, hogy nevezetes problémái közül az első helyen említette (Hilbert-problémák). A megoldást Kurt Gödel és Paul Cohen szolgáltatta, de nem várt eredményre jutottak. Gödel 1940-ben (a Gödel-féle konstruálható halmazok segítségével) bebizonyította, hogy a kontinuumhipotézis nem cáfolható, míg Cohen 1963-ban (a forszolás általa kifejlesztett módszerével) pedig belátta, hogy nem bizonyítható a Zermelo–Fraenkel axiómarendszerben. A kettő együtt azt jelenti, hogy az állítás konzisztens és független, vagyis az állítás hozzávétele sem okoz ellentmondást, és a tagadás hozzávétele sem. Ezzel megszületett a válasz Hilbert 1. problémájára.

Számosságaritmetika és kontinuumhipotézis

A számosságaritmetika jelöléseivel ez a következőket jelenti. ${}_{{\mathrm{\aleph }}_0}$ a természetes számok számossága. Van ${}_{{\mathrm{\aleph }}_0}$-ra rákövetkező számosság is, ezt ${}_{{\mathrm{\aleph }}_1}$-gyel jelöljük. Belátható, hogy ${}_{{\mathrm{\aleph }}_0}$ értékét nem hagyhatjuk el, sem összeadással, sem szorzással, az viszont biztos, hogy hatványozással már igen: ${}_{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_0}$, tehát ${}_{{\mathrm{\aleph }}_1\le 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$. A kontinuumhipotézis azt mondja, hogy

${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (ez a kijelentés tehát független ZFC-től).

Az előbbi gondolatmenet akármilyen $\alpha$ rendszámra is megismételhető. Ekkor az általánosított kontinuumhipotézist kapjuk – valójában Gödel és Cohen ennek a függetlenségét látták be:

${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}=2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$.

Nem sokkal Cohen munkája után Solovay igazolta, hogy $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ bármelyik számosság lehet, aminek a kofinalitása nagyobb ω-nál (a Kőnig-egyenlőtlenség kizárja, hogy ω kofinalitású számosság legyen, tehát például ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$). Ezért olybá kezdett tűnni, hogy míg a számosságok összeadása és szorzása azért triviális témakör, mert már mindent elmondtak róla, addig a hatványozás azért, mert a hatvány értéke lényegében bármi lehet. Saharon Shelah mutatott azonban rá arra, hogy a kontinuumhipotézis témakörében a kérdést szinte napjainkig rosszul tették fel. Shelah létrehozott egy új módszert (a pcf-elméletet), amely segítségével új és meglepő eredményeket sikerült elérnie, többek között a szinguláris számosságokra vonatkozóan. Például belátta, hogy

ha minden $n<\omega$-ra ${}_{2^{{\mathrm{\aleph }}_n}<{\mathrm{\aleph }}_{\omega }}$, akkor ${}_{2^{{\mathrm{\aleph }}_{\omega }}<{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_4}}$.

Kiderült, hogy bár sok számosságra a hatványfüggvényt tetszőlegesen választhatjuk (az axiómák szintjén, a függetlenség által), de az egész hatványozásra vonatkozóan teljesülnek bizonyos algebrai tulajdonságok, szabályosságok, melyek ugyanúgy levezethetők, mint a halmazelmélet összes tétele.

Külső hivatkozások

• A végtelenen túl, YOUPROOF
• Recenzió S. Shelah Cardinal arithmetic című könyvéhez
• Csirmaz László: Saharon Shelah laudációja a Bolyai-díj alkalmából