Holomorf függvények

Négyzetrács holomorf transzformációja. A holomorf függvények nem képezhetnek csak a valós számokra

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény holomorf egy nyílt $U\subseteq \mathbb{ℂ}$ halmazon, ha $U$ minden pontjában komplex differenciálható. A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható. Szokás reguláris függvény néven is hivatkozni rá. Habár a definíció analóg a valós differenciálhatósággal, a komplex függvénytan megmutatja, hogy ez egy nagyon erős tulajdonság. Olyan jelenségeket produkál, amiknek a valósban nincs megfelelőjük. Ilyen például, hogy tetszőleges sokszor differenciálható, és a halmaz bármely pontja körül hatványsorba fejthető.

Definíció

1. Definíció: Legyen adva az $\mathrm{\Omega }\subseteq \mathbb{ℂ}$ nyílt halmaz, és az $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$ leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden $z_0\in \mathrm{\Omega }$ pontban létezik a következő határérték

$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$.

Ezt a határértéket az $f$ függvény $z_0$-beli (komplex) deriváltjának nevezzük, és $f^{\prime }(z_0)$-val jelöljük. 2. Definíció: $f$ holomorf, ha előáll $z_0$ pont $r$-sugarú (alkalmasan választott $r$-rel) környezetében a következő alakban:

$f(z)=f(z_0)+A(z-z_0)+{\epsilon }_{z_0,r}(z)$

ahol $A$ komplex szám (természetesen függ $z_0$-tól), ${\epsilon }_{z_0,r}$ pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz

$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{{\epsilon }_{z_0,r}(z)}{z-z_0}=0$

Ekkor $A=f^{\prime }(z_0)$. 3. Definíció: $f$ holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

$\oint f(z)dz=0$

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ két görbe, és ${\gamma }_1(0)={\gamma }_2(0),{\gamma }_1(1)={\gamma }_2(1)$, akkor

$\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_2}{\int }f(z)dz$

Példák

Holomorf a teljes komplex síkon az identikus leképezés, azaz a $z\mapsto z$ függvény. Általánosabban, a polinomok holomorfak a teljes komplex síkon. A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy differenciálható függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon. Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

$\exp (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valós esetben megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt $2\pi$-vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha $z_1-z_2=2n\pi i$, akkor $\exp (z_1)=\exp (z_2)$. Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

$\mathrm{\Omega }=\mathbb{ℂ}\setminus \{a+bi:a\le 0,b=0\}$

$$\begin{gathered} \log z=\log |z|+i\arg z \\ (-\pi <\arg z<\pi ) \end{gathered}$$

A koszinusz és szinusz szögfüggvények holomorfak a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

$\cos z=\frac{\exp (iz)+\exp (-iz)}{2}$

$\sin z=\frac{\exp (iz)-\exp (-iz)}{2i}$

Hasonlóan a hiperbolikus függvények is holomorfak a teljes komplex síkon. A törtracionális függvények holomorfak, kivéve a nevező gyökeit, ahol pólusaik vannak. Az egész komplex síkon meromorfak. A logaritmusfüggvény ága az origóból felvágott komplex síkon. A főágat úgy választják, hogy a síkból a negatív félegyenest hagyják ki.

Ellenpéldák

Sehol sem holomorfak a következő függvények:

• A konjugálás operátor: $z\mapsto \bar{z}$
• A valósrész-képzés, illetve képzetesrész-képzés operátor: $a+bi=z\mapsto \mathrm{\Re }(z)=a$
• Az abszolútérték: $z\mapsto |z|$

A $z\mapsto |z{|}^2$ csak a 0 helyen komplex differenciálható, de itt sem holomorf, mivel ahhoz egy környezet is kellene. Általánosabban nem holomorfak azok a függvények, amelyeknek az összes értéke valós.

Tulajdonságok

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Ez lényeges különbség a valós differenciálhatósághoz képest. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban, ahol a nevező nem nulla. Legyen $z_0\in \mathrm{\Omega }$ és $r=\sup \{d\in \mathbb{ℝ}:|z-z_0|<d\Rightarrow z\in \mathrm{\Omega }\}$, azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér $\mathrm{\Omega }$-ban. Ekkor ha $f$ holomorf az $\mathrm{\Omega }$-ban, akkor létezik a $z_0$ körüli Taylor-sora, melynek konvergencia-sugara éppen $r$, és ott előállítja a függvényt. Maximumelv: Egyszeresen összefüggő nyílt tartományon értelmezett nemkonstans holomorf függvény abszolút értékének csak a tartomány szélén lehet lokális maximuma. Liouville tétele: Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans. Rouché tétele: Legyen adva egy $\gamma$ Jordan-görbe, és legyen $\mathrm{\Omega }$ ennek a belseje. Tegyük fel, hogy $f,g:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$ két holomorf függvény, melyek folytonosak $\bar{\mathrm{\Omega }}$-n, valamint tegyük fel, hogy minden $z\in \gamma$ pontra fennáll: $|g\left(z\right)|>|f(z)-g(z)|$. Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van $\mathrm{\Omega }$-ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök. Cauchy integráltétele: Ha $f(z)$ holomorf, $U\subseteq \mathbb{ℂ}$ egyszeresen összefüggő tartomány, és $\gamma$ zárt Jordan-görbe, akkor

$\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z=0.$

A tétel teljesül akkor is, ha $U$ csillagszerűen összefüggő, és $\gamma$ zárt út. Cauchy integrálképlete: Legyen $D:=U_r(a)$ $a\in U$ közepű, $r$ sugarú nyílt körlap! Ha $f(z)$ holomorf egy $D$-nél szigorúan bővebb tartományon, akkor minden $z\in D$ és $k\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ esetén:

$f^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{k+1}}\mathrm{d}\zeta .$

Tehát a határon felvett értékek meghatározzák a teljes függvényt bent is. Az integrálképlet segítségével bizonyítható, hogy a holomorf tulajdonság ekvivalens a komplex analitikussággal. Azaz, ha egy függvény a $z_0$ komplex számban holomorf, akkor komplex analitikus, és megfordítva, ha komplex analitikus, akkor holomorf. A hatványsorok akárhányszor differenciálhatók, és tagonként differenciálhatók. Az identitásképlet szerint nemcsak a határ határozza meg a holomorf függvényt, hanem minden olyan halmaz elemein felvett érték, aminek torlódási pontja a holomorf tartományba esik. Így egyes valós analitikus függvények egyértelműen kiterjeszthetők holomorf függvényekké. Tartományhűség: Tartomány holomorf képe tartomány. Weierstraß tétele: Ha a holomorf függvényekbőlé álló $(f_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozat kompakt konvergál az $U$ tartományon az $f$ függvényhez, akkor $f$ újra holomorf, és a határértékképzés felcserélhető a deriválással. Montel tétele: Ha az $(f_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ holomorf függvények sorozata lokálisan korlátos egy tartományon, akkor van kompakt konvergens részsorozata. Legyen $u$ harmonikus függvény egy egyszeresen összefüggő tartományon! Ekkor van olyan $v$ függvény, ami szintén harmonikus, és az $f:x+\mathrm{i}y\mapsto u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$ függvény holomorf. Ekkor az $u$ és $v$ harmonikus függvények konjugáltak.

Kapcsolat a valós differenciálhatósággal

$\mathbb{ℂ}$ természetes módon kétdimenziós vektortér a valós számok fölött, természetes ortonormált bázisa $\{1,i\}$. Így egy $f:U\to \mathbb{ℂ}$ függvénynek az $U\subseteq \mathbb{ℂ}$ nyílt halmazon való differenciálhatósága totális differenciálhatóságot jelent a magasabb dimenziós valós analízis értelmében. Ha $f$ függvény, akkor totális differenciálható a $z_0$ pontban, ha van egy $L$ $\mathbb{ℝ}$-lineáris leképezés úgy, hogy

$f(z_0+h)=f(z_0)+L(h)+r(h)$

ahol az $r$ függvény olyan, hogy

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{r(h)}{|h|}=0$

Most látható, hogy $f$ pontosan akkor komplex differenciálható a $z_0$ komplex számban, ha ugyanitt totálisan differenciálható, és $L$ $\mathbb{ℂ}$-lineáris. Ez utóbbi egy erős feltétel. Ez azt jelenti, hogy $L$ mátrixa az $\{1,i\}$ kanonikus bázisban

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$

Cauchy–Riemann-differenciálegyenletek

Ha felbontjuk az $f$ függvényt valós és képzetes részére, mint $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, akkor a totális derivált:

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right).$

Megfordítva, egy függvény komplex értelemben differenciálható, ha valós értelmben folytonosan differenciálható, és a fenti $u,v$ függvényekre:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

Ekvivalens tulajdonságok

Egy komplex szám egy környezetében ekvivalensek a következők:

1. A függvény komplex differenciálható.
2. A függvény akárhányszor komplex differenciálható.
3. A valós és a képzetes részek megoldják a Cauchy–Riemann-egyenleteket, és legalább egyszer folytonosan differenciálhatók.
4. A függvény komplex hatványsorba fejthető.
5. A függvény folytonos, és minden zárt út menti integrálja eltűnik.
6. A függvény értékei egy körlap belsejében kiszámíthatók a körvonalon felvett értékekből a Cauchy-integrálképlettel.
7. A függvény valós értelemben differenciálható, továbbá

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0,$

ahol $\frac{\partial }{\partial \overline{z}}$ a Cauchy–Riemann-operátor, aminek definíciója:

$\frac{\partial }{\partial \overline{z}}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y})$

Biholomorf függvények

Egy függvény biholomorf, ha holomorf, bijektív és inverze is holomorf. Egyváltozós függvények esetén ez ekvivalens azzal, hogy a leképezés bijektív és konform. Az implicitfüggvény-tételből következik, hogy ha egy függvény holomorf és bijektív, akkor az inverze is holomorf. Többváltozós esetben ugyanezt Osgood tétele garantálja. Így a bijektív, holomorf függvények biholomorfak. A kategóriaelmélet szempontjából a biholomorf leképezések izomorfizmusok.

Többváltozós holomorf függvények

Legyen $D\subseteq {\mathbb{ℂ}}^n$ nyílt halmaz. Az $f:D\to {\mathbb{ℂ}}^m$ leképezés holomorf, ha $f=(f_1,\dots ,f_m)$ minden részfüggvényében és változójában holomorf. A komplex függvények parciális deriváltjai egyszerűen kezelhetők a Wirtinger-kalkulussal: $\frac{\partial }{\partial z^j}$ és $\frac{\partial }{\partial \stackrel{j}{\stackrel{‾}{z}}}$ sok szép tulajdonságot mutat. Így az $f:D\to \mathbb{ℂ}$ függvényekre nem teljesül a Cauchy-integráltétel, és az identitástételnek csak egy gyengébb változata adódik. A Cauchy-integrálképlet azonban alkalmazható, ami teljes indukcióval általánosítható. Salomon Bochner 1944-ben bizonyította a Bochner-Martinelli-képletet, ami az integrálképlet további általánosítása. A komplex geometriában is alkalmazzák a holomorfiát. Így tekintik a Riemann-felületek és a komplex sokaságok egymás közötti holomorf leképezéseit a sima sokaságok közötti valós differenciálható leképezésekkel analóg módon. Emellett az integrációelmélet számára fontos alkalmazások a sima differenciálformákhoz hasonlóan, holomorf differenciálformák néven.

Lásd még

• Meromorf függvények

Források

• Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 
• Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)
• Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6.
• Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6.
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.
• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-87899-5.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-41855-5.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Holomorphe Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.