Implicitfüggvény-tétel

Az implicitfüggvény-tétel a matematikai analízis, közelebbről a differenciálelmélet leghatékonyabban alkalmazható tétele olyan feladatokra, amikor egy adott nemlineáris egyenletrendszer megoldásait próbálják megkeresni. Legegyszerűbb esetben arról van szó, hogy egy síkbeli görbe egyenletéből kifejezhető-e az y változó az x segítségével, és ezzel megadható-e a görbe egy szakasza függvénygrafikonként.

Bevezetés

Implicit megadású függvényről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) y = f(x) alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó

$F(x,y)=0$

egyenlet írja le. A fogalom Cauchytól származik (1823). Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az

$x^2+y^2=1$

egyenletű körből könnyű az y változót kifejezni, az $y=\sqrt{1-x^2}$ és $y=-\sqrt{1-x^2}$ alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a

$e^{x^y}+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}{y}^4-\sin y=x$

esetén semmi reményünk, hogy az y változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket implicit, avagy régi, választékos kifejezéssel élve bennrekedt függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is. A modern analízis szemszögéből egy N × M $\to$ K normált terek között ható F függvény a ∈ N és b ∈ M pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az a egy U környezetén értelmezett és a b egy V környezetébe képező f:U $\to$ V függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden x ∈ U pont esetén rendelkezik az

$F(x,f(x))=0$

tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az y változó kifejezhető y=f(x) alakban. Tágabb értelemben egy F : H × K $\to$ L kétváltozós halmazelméleti függvény (a,b) ∈ H × K párhoz tartozó implicit függvénye olyan f, a H egy részhalmazán értelmezett, K-ba képező függvény, mely a-ban értelmezve van, f(a)=b és minden az értelmezési tartományába tartozó x pontra: F(x,f(x))=F(a,b).

Az egyváltozós eset

Tétel – Implicitfüggvény-tétel R-beli implicit függvényre – Legyen F az R² egy részhalmazán értelmezett, R-be képező függvény, mely az értelmezési tartománya egy (a,b) belső pontjában erősen differenciálható, F(a,b) = 0 és

${\partial }_{2}F(a,b)\ne 0$

(azaz (a,b)-ben az y szerinti parciális deriváltja nem nulla). Ekkor van a-nak olyan $I$ és b-nek olyan $J$ környezete, hogy F-nek egyértelműen létezik az (a,b) párhoz tartozó f: $I$ $\to$ $J$ implicit függvénye, mely erősen differenciálható a-ban és deriváltja:

$f^{\prime }(a)=-\frac{{\partial }_{1}F(a,b)}{{\partial }_{2}F(a,b)}$

Bizonyítás. A (a,b)-beli erős differenciálhatóságból következik, hogy F folytonosan differenciálható (a,b)-ben. Választhatunk tehát olyan $I$ és J nyílt intervallumokat, a és b körül, hogy $I$ × J-n ∂₂F sehol sem nulla, azonos előjelű. Feltehetjük, hogy ∂₂F pozitív. Vegyük észre, hogy az implicit függvény létezése egyenértékű azzal, hogy minden x ∈ $I$-re az F( x , . ) parciális függvénynek zérushelye van J-ban, hiszen ekkor minden x-hez létezik olyan y ∈ J, hogy F(x,y)=0. Belátjuk, hogy minden ilyen x-hez egyetlen zérushelye van F( x , . )-nek.

Az F kétváltozós függvény (a,b)-beli érintősíkja és az xy sík metszete közel egybeesik az implicit függvény görbéjével. Az érintősíknak ebből a felülethez simuló tulajdonságából vezethető le az implicitfüggvény-tétel. Egy esetben nem állíthatjuk általánosan, hogy létezik ilyen függvény, ha a síkok metszésvonala párhuzamos az y tengellyel. Ekkor nem feltétlenül létezik az y=f(x) implicit függvény, vagy legalábbi is biztosan nem differenciálható.

Tekintsük a folytonos F( a , . ) parciális függvényt. Az erős differenciálhatóságból és a pozitívra választott deriváltból következik, hogy ez $I$-n szigorúan monoton növekvő. Mivel b-ben zérushelye van ( F(a,b)=0 ), ezért van olyan $y_2$ > b pont, hogy ott F( a , . ) pozitív és $y_1$ < b pont, hogy ott F( a , . ) negatív. Ekkor F folytonossága miatt van az (a,$y_1$) pontnak olyan környezete, ahol F negatív és van az (a,$y_2$) pontnak olyan környezete, ahol F pozitív. Most definiáljuk át $I$-t és J-t úgy, hogy $I$ × J-n az F egy J-beli elem fölött mindenhol pozitív, egy J-beli elem alatt mindenhol negatív értéket vegyen föl. Az erős differenciálhatóságból az is következik, hogy minden x ∈ $I$-re az F( x , . ) függvény is szigorúan monoton növekvő, negatív és pozitív értéket is felvevő folytonos függvény, így a Bolzano-tétel alapján létezik $y_x$ zérushelye és mindegyiknek egyetlen zérushelye létezik. Állítjuk, hogy a φ:$I$ $\to$ J, x $\mapsto$ $y_x$ függvény implicit függvénye F-nek, azaz minden x ∈ $I$-re F(x,φ(x))=0. Könnyen belátható, hogy φ folytonos a-ban, hiszen ha a-hoz közeledve mindig találnánk olyan x pontot, hogy φ(x) egy adott ε-nál mindig jobban eltér b-től, akkor φ(x) egy olyan környezetbe esne bele, ahol F mindenhol egy pozitív számnál nagyobb vagy mindenhol egy negatív számnál kisebb. Ám, F(x,φ(x))=0, így ez ellentmondana F folytonos tulajdonságának. φ erősen differenciálható (a,b)-ben, hiszen tetszőleges $x_1$, $x_2$ ∈ $I$-re az F erős differenciálhatósága miatt fennáll

$0=F(x_1,\phi (x_1))-F(x_2,\phi (x_2))=$

$={\partial }_{1}F(a,b)(x_2-x_1)+{\partial }_{2}F(a,b)(\phi (x_2)-\phi (x_1))+$

$+\epsilon \cdot (x_2-x_1)+\eta \cdot (\phi (x_2)-\phi (x_1))$

azaz (a pozitív ∂₂F(a,b) miatt pozitívra választható ∂₂F(a,b)+η miatt):

$\frac{\phi (x_2)-\phi (x_1)}{x_2-x_1}=-\frac{{\partial }_{1}F(a,b)+\epsilon }{{\partial }_{2}F(a,b)+\eta }$

és innen ($x_1$,$x_2$)$\to$(a,a) határátmenetet véve, a másodendű tagok eltűnését követően kapjuk az állítás eredményét. ■ Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az implicit függvény értékére fennáll ugyan a

$\phi (x)=\phi (a)-\frac{{\partial }_{1}F(a,b)+\epsilon }{{\partial }_{2}F(a,b)+\eta }(x-a)$

egyenlőség, de mivel ε és η ki nem írt argumentumaiban szerepel φ(x), ezért ez sem egy explicit alak.

Kapcsolat az inverzfüggvény-tétellel

Vegyük észre, hogy mivel mindegyik F( x , . ) parciális függvény szigorúan monoton, így az (x,y) $\mapsto$ (x, F(x,y)) függvény is injektív. Érdemes tehát az inverzét felírni, az (x,z)$\mapsto$(x,y) függvényt. Mivel minden egyes x és z pontra egyetlen y van, hogy F(x,y)=z, ezért z=0 esetén is minden x-hez egyetlen y van, hogy F(x,y)=0, mely az F implicit függvényét szolgáltatja. Ennek a függvénynek a szükséges differenciálhatósági tulajdonságainak bizonyításához hatékonyan használhatjuk fel az inverzfüggvény-tételt. Nem véletlen a kapcsolat a két tétel között. Az előző bizonyítást és a többváltozós eset bizonyítását is végezhetjük az inverzfüggvény-tétellel, sőt az utóbbi esetben csak ezzel. Másrészt az is igaz, hogy a két tétel állítása ekvivalens egymással.

Példák

Tekintsük a következő egyenletű síkgörbét:

$x^5+xy+y^5=3$

Nem lenne könnyű feladat kifejezni belőle y-t, mert az ötödfokú egyenletnek nincs általános megoldóképlete. Mivel a bal oldal akárhányszor differenciálható, ezért joggal feltételezhetjük, hogy bizonyos pontokban létezik implicit függvénye. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. Ekkor az egyenlet

$x^5+x\phi (x)+(\phi (x){)}^5=3$

alakú, melynek minden olyan x-nél, ahol φ differenciálható:

$5x^4+\phi (x)+x{\phi }^{\prime }(x)+5{\phi }^4(x)\cdot {\phi }^{\prime }(x)=0$

ahonnan a derivált: ${\phi }^{\prime }(x)=-\frac{5x^4+\phi (x)}{5{\phi }^4(x)+x}$ vagy szimbolikusan: $y^{\prime }=-\frac{5x^4+y}{5y^4+x}$. Alaposabb vizsgálatokkal kideríthető, hogy ez a derivált minden pontban létezik és negatív, így az implicit függvény mindenhol létezik és szigorúan monoton csökkenő. Vegyük észre, hogy a nevezőben lévő kifejezés pont ∂_yF(x,y) és az implicit függvény létezésének feltétele pont a nevező nullától különböző volta.

Többváltozós eset

Ebben az esetben is az „érintősík” végtelenül közelítő tulajdonsága játszik majd fontos szerepet. Jól látható az összefüggés, ha feltesszük, hogy F egy Rⁿ×R^m-en értelmezett affin függvény, azaz egy lineáris leképezés eltoltja. Ekkor

F(x,y) = F(a+h,b+k) = F(a,b)+dF₁(a,b)h+dF₂(a,b)k.

Amennyiben y = y(x) olyan, hogy y(a) = b és F(x,y(x)) = 0, akkor fennáll a 0 = dF₁(a,b)h + dF₂(a,b)k egyenlőség és k kifejezhető, amennyiben az A = dF₂(a,b) mátrix invertálható. A B = dF₁(a,b) jelöléssel ekkor

k = -(A^-1$\cdot$B) h.

Általános esetben ez csak egy másodrendűen kicsiny tag hozzávételével lesz igaz, de az implicit függvény létezésének belátásához szükséges a fenti gondolatmenet is. Banach-terek esetén (melyek akár végtelen dimenziósak is lehetnek) a tétel a következő. Tétel – Implicitfüggvény-tétel Banach-terekre – Legyen E, H, G Banach-terek, F:E × H $\to$ G olyan függvény, mely (a,b) ∈ E × H-ban erősen differenciálható. Ha a ∂₂F(a,b) lineáris leképezés injektív és az inverzével együtt folytonos, akkor egyértelműen létezik az F-nek egy az (a,b) párhoz tartozó f lokális implicit függvénye, ez erősen differenciálható a-ban és differenciálja:

$df(a)=-({\partial }_{2}F(a,b){)}^{-1}\circ ({\partial }_{1}F(a,b))$

Vagy egy kevésbé absztrakt tétel: Tétel – Implicitfüggvény-tétel Rⁿ-re – Legyen F:Rⁿ×R^m$\to$R^m folytonosan differenciálható függvény, (a,b) ∈ Rⁿ×R^molyanok, hogy F(a,b)=0 és $\det {\left(\frac{\partial F_i(a,b)}{\partial y_k}\right)}_{i,k=1,...,m}\ne 0$. Ekkor egyértelműen létezik F-nek egy az (a,b)-hez tartozó lokális implicit függvénye.

Hivatkozások

Források

• A PlanetMath Implicit function theorem szócikke Archiválva 2006. július 2-i dátummal a Wayback Machine-ben