Folytonos függvény

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy $f$ függvény folytonossága az $x$ helyen azt jelenti, hogy $x$ kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az $f(x)$ is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság). A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (Vö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható. Némileg bonyolultabb, illetve szerteágazóbb probléma a görbék, illetve más geometriai alakzatok folytonosságának kérdése általában. Ezzel a topológia foglalkozik. A probléma részben visszavezethető a valós-valós függvények folytonosságának és határértékeinek vizsgálatára, de ettől függetlenül és jóval általánosabb keretek között, például valamely topológiai axiómarendszer vagy struktúra segítségével is tárgyalható.

Pontbeli folytonosság

Definíció

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy $A$ részhalmazán értelmezett $f:A\to \mathbb{ℝ}$ függvény folytonos az értelmezési tartományának egy $u$ pontjában, és ezt $f\in C(u)$-val jelöljük, ha minden $\epsilon$ pozitív számhoz létezik olyan $\delta$ pozitív szám, hogy minden olyan $x\in A$ számra, amely $u$-tól $\delta$-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az $f(x)$ függvényérték $\epsilon$-nál kisebb távolságra van $f(u)$-tól. Azaz

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in A(|x-u|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(u)|<\epsilon )$

Magyarázat: a függvény $u$-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi $\epsilon$ hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az $u$ körül olyan kis $(u-\delta ,u+\delta )$ intervallum, amelyen belüli $x$-ekre a függvény $f(x)$ értékei a hibakorlátnál – $\epsilon$-nál – kisebb mértékben térnek el $f(u)$-tól.

Folytonosság jellemzése határértékkel

Legyen $f$ a valós számok egy $A$ részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen $u\in A$. Az, hogy az $f$ függvény az $u$ pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

• $u$ az $A$-nak vagy izolált pontja, vagy
• $u$ az $A$-nak torlódási pontja és létezik az $f(u)$-val egyenlő $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to u}f(x)$ határérték.

$u$ torlódási pontja $A$-nak, ha bármely pozitív $\epsilon$-hoz létezik $A$-nak olyan $u$-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága $u$-tól kisebb, mint $\epsilon$. $A$-nak izolált pontja $u$, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív $\epsilon$, melyre $A$-nak nincs más eleme az $(u-\epsilon ,u+\epsilon )$ nyílt intervallumban, csak $u$.

Átviteli elv

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni. Az $f$ valós számok halmazának egy $A$ részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az $u\in A$ pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, $u$-hoz konvergáló $(x_n)$ sorozat esetén a függvényértékek $(f(x_n))$ sorozata is konvergens és az $f(u)$ számhoz tart, azaz

$\mathrm{\forall }(x_n):\mathbb{\mathbb{N}}\to A(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=u\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}f(x_n)=f(u))$

Halmazon való folytonosság

Azt mondjuk, hogy egy $f$ függvény folytonos az értelmezési tartományának egy $H$ részhalmazán, és ezt $f\in C(H)$-val jelöljük, ha $f$ folytonos a $H$ halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy $f$ folytonos, és ezt $f\in C$-vel jelöljük, ha $f$ folytonos az értelmezési tartományán.

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Uniform (egyenletes) folytonosság

Ha $X$ és $Y$ a valós számok részhalmazai, akkor az $f:X\to Y$ függvény uniform folytonos, ha bármely $ϵ>0$-ra létezik $\delta >0$, úgy, hogy bármely $x,y\in X$, $|x-y|<\delta$ teljesül, hogy $|f(x)-f(y)|<ϵ$. A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a $\delta$ értéke csak $ϵ$-tól függ, magától az $a$ ponttól nem.

Abszolút folytonosság

Legyen $I$ a valós számok egy intervalluma. Az $f:I\to R$ függvény abszolút folytonos az $I$ halmazon, ha bármely pozitív $ϵ$-hoz létezik egy pozitív $\delta$, úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt $(x_k,y_k)$ részintervallumoknak teljesül, hogy:

$\sum _k|y_k-x_k|<\delta$-ra igaz :$\sum _k|f(y_k)-f(x_k)|<ϵ.$.

Az alábbi állítások a valós $f$ függvényre vonatkozóan az $[a,b]$ kompakt intervallumon ekvivalensek:

1. $f$ abszolút folytonos;
2. $f$-nek majdnem mindenhol létezik egy $f^{\prime }$ deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt$ bármely $x$-re az $[a,b]$ intervallumon;
3. létezik egy $g$ Lebesgue-integrálható függvény $[a,b]$ intervallumon, úgy, hogy $f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt$ bármely $x$-re az $[a,b]$ intervallumon.

Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol $g=f^{\prime }$. Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.

Szakadás

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az $D_f\subset \mathrm{\Re }$ halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő $f(x)$ helyettesítési érték.

Szinguláris pont

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Megszüntethető szakadás

Ha egy $v\in \mathrm{\Re }$ hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a $f(v):=\lim [f(x)]$ előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

Ugráshely

Egy $v\in D_f$ hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.

Elsőfajú szakadás

Ha a függvénynek a $v$ helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az $f(v)$ helyettesítési értékkel, a szakadás elsőfajú. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

Másodfajú szakadás

Minden egyéb esetben, például, ha a jobb és bal oldali határértékek különbözőek (végesek), és egyik sem egyezik meg az $f(v)$ helyettesítési értékkel, a szakadás másodfajú és nem megszüntethető.

Kapcsolódó szócikkek

• Egyenletes folytonosság
• Abszolút folytonosság

Hivatkozások

Külső hivatkozások

A Wikimédia Commons tartalmaz Folytonos függvény témájú médiaállományokat.

• PlanetMath: continuous Archiválva 2006. szeptember 25-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Encyclopaedia of Mathematics: Continuous function