Cauchy-integrálképlet

A Chauchy-integrálképlet a komplex analízis egyik alapvető kijelentése. Leggyengébb alakjában azt mondja ki, hogy egy holomorf függvény értékeit egy körlapon meghatározzák a kör kerületén felvett értékei. Egyik erős általánosítása a reziduumtétel. A tételnek több változata van.

Körlapra

Állítás

Ha $D\subseteq \mathbb{ℂ}$ nyílt, $f:D\to \mathbb{ℂ}$ holomorf, $a\in D$ komplex szám, továbbá $U:=U_r(a)\subset D$ relatív kompakt körlap $D$-ben, akkor minden $z\in U_r(a)$ esetén, vagyis ha $z$-re teljesül, hogy $|z-a|<r$:

$f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta$

ahol $\partial U$ pozitív irányítású görbe, és $t\mapsto a+r{e}^{\mathrm{i}t}$ ahol $t\in [0,2\pi ]$ $U$ kerülete.

Bizonyítás

Rögzített $z\in U$ esetén definiáljuk a $g:U\to \mathbb{ℂ}$ függvényt mint $w\mapsto \frac{f(w)-f(z)}{w-z}$, ahol $w\ne z$ és $w\mapsto f^{\prime }(z)$ ha $w=z$. Ekkor $g$ folytonos $U$-ban és holomorf $U\setminus \{z\}$-ben. A Cauchy-féle integráltétellel

$0={\oint }_{\partial U}g={\oint }_{\partial U}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta -f(z){\oint }_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta -z}$.

Most a $h:U\to \mathbb{ℂ}$, $w\mapsto {\oint }_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta -w}$ függvény holomorf, és deriváltja $h^{\prime }(w)={\oint }_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta }{{(\zeta -w)}^2}$, ami eltűnik, mivel az integrandusnak van primitív függvénye, mégpedig $\zeta \mapsto -\frac{1}{\zeta -w}$. Tehát $h$ konstans, és mivel $h(a)=2\pi \mathrm{i}$, azért $h(z)=2\pi \mathrm{i}$.

Következményei

Minden holomorf függvényre teljesül: egy körlap középpontjában felvett értéke a peremen felvett értékek középértéke: $$\begin{gathered} \zeta (t)=a+r{e}^{\mathrm{i}t}, \\ \mathrm{d}\zeta =\mathrm{i}r{e}^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t \end{gathered}$$.

$f{|}_U(a)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U}\frac{f(\zeta )}{\zeta -a}\mathrm{d}\zeta =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f(a+r{e}^{\mathrm{i}t})}{r{e}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}r{e}^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(a+r{e}^{\mathrm{i}t})\mathrm{d}t$

Minden holomorf függvény minden pontban tetszőlegesen sokszor komplex differenciálható, és minden deriváltja holomorf. Az integrálképlettel ez azt jelenti, hogy $|z-a|<r$ és $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ esetén:

$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U}\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -z)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta .$

A holomorf függvények hatványsorba fejthetők, a sorfejtés minden $|z-a|<r$ komplex számra érvényes.

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U}\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -a)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \right)(z-a{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n.$

Az $f^{(n)}$ függvényre alkalmazott integrálképlettel azonnal következik, hogy az $a_n$ együtthatók pontosan a Taylor-sor együtthatói. Ha $|f(z)|\le M$ für $$\begin{gathered} |z-a|<r \\ \iff z\in U_r(a) \end{gathered}$$, akkor az együtthatók becsülhetők, mint:

$|a_n|\le \frac{M}{r^n}$

A Liouville-tétel is egyszerűen belátható az integrálképlet felhasználásával, továbbá az algebra alaptételére is lehet következtetni. Kiszámíthatók integrálok is, például:

${\oint }_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta }}{{(\zeta +1)}^4}\mathrm{d}\zeta =\frac{2\pi \mathrm{i}}{3!}\frac{{\mathrm{d}}^3}{\mathrm{d}{z}^3}{e}^{2z}{|}_{z=-1}=\frac{8\pi \mathrm{i}}{3e^2}$

A következmények bizonyítása

A Cauchy-integrálképletet parciálisan differenciáljuk, amiben a differenciálás és az integrálás felcserélhető:

$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}{|}_U(z)& =\frac{{\partial }^{n}f}{\partial z^n}{|}_U(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\frac{{\partial }^n}{\partial z^n}{\oint }_{\partial U}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U}f(\zeta )\underset{n!/(\zeta -z{)}^{1+n}}{\underbrace{\frac{{\partial }^n}{\partial z^n}\frac{1}{\zeta -z}}}\mathrm{d}\zeta =\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \end{array}$

Az $\frac{1}{\zeta -z}$ kifejtése a mértani sor segítségével a Cauchy-integrálképletbe:

$\begin{array}{rl}f{|}_U(z)& =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U_r(a)}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U_r(a)}\frac{f(\zeta )}{\zeta -a-(z-a)}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U_r(a)}\frac{f(\zeta )}{\zeta -a}\frac{1}{1-\frac{z-a}{\zeta -a}}\mathrm{d}\zeta \stackrel{|\frac{z-a}{\zeta -a}|<1}{=}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U_r(a)}\frac{f(\zeta )}{\zeta -a}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z-a}{\zeta -a}\right)}^n\mathrm{d}\zeta \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{a_n}{\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U_r(a)}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \right)}}(z-a{)}^n\end{array}$

Mivel $|z-a|<|\zeta -a|=r$ esetén a mértani sor egyenletesen konvergens, szabad tagonként integrálni, az összegzés és az integrál felcserélhető. A kifejtés együtthatói:

$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{n!}{f}^{(n)}{|}_U(a)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U_r(a)}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f(a+r{e}^{\mathrm{i}t})}{(r{e}^{\mathrm{i}t}{)}^{n+1}}\mathrm{i}r{e}^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi r^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(a+r{e}^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\mathrm{d}t\end{array}$

Az együtthatókra teljesül a következő becslés: Legyen $M>0$ olyan, hogy $|f(z)|\le M$ ha $|z-a|=r$! Ekkor $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ számokra:

$|a_n|=|\frac{1}{2\pi r^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(a+r{e}^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\mathrm{d}t|\le \frac{1}{2\pi r^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{\le M}{\underbrace{|f(a+r{e}^{\mathrm{i}t})|}}\mathrm{d}t\le \frac{M}{r^n}$

Ha $f$ holomrf és korlátos a teljes $\mathbb{ℂ}$ síkon, tehát $|f(z)|=|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n|\le M$ minden $z\in \mathbb{ℂ}$ komplex számra, akkor minden $r>0$ valós számra:

$|a_n|\le \frac{M}{r^n}$

Mivel $r$ tetszőleges, azért $a_n=0$ minden $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ esetén. Így az $f$ korlátos volta miatt:

$f(z)=a_0$

Ez azt jelenti, hogy korlátos egészfüggvény konstans, ami éppen a Liouville-tétel.

Körlapok direkt szorzatán

A magasabb dimenziós analízisben használják a körlapok direkt szorzatát is, aminek neve az angol alapján polilemeznek, a német alapján policilindernek vagy polihengernek magyarítható. Pontosabban, ha $\mathrm{\Delta }(z,r)=\{w\in \mathbb{ℂ}\mid |z-w|<r\}$ nyílt körlap, akkor a $z=(z_1,\dots ,z_n)\in {\mathbb{ℂ}}^n$ középpontú policilinder, aminek multirádiusza $r=(r_1,\dots ,r_n)$, megadható, mint

$\mathrm{\Delta }(z_1,r_1)\times \dots \times \mathrm{\Delta }(z_n,r_n)$

vagy ekvivalensen,

$\{w=(w_1,\dots ,w_n)\in {\mathbb{ℂ}}^n\mid |z_k-w_k|<r_k,k=1,\dots ,n\}.$

A policilinder az egydimenziós körlap általánosítása, de $n>1$ esetén nem biholomorf a gömbbel. Ezt Poincaré látta be 1907-ben, amikor megmutatta, hogy a két halmaz automorfizmus- és Lie-csoportjainak dimenziói különbözőek. A Cauchy-integrálképlet általánosítható magasabb dimenzióra. Legyenek $U_1,\dots ,U_n$ körlapok a komplex síkon, $U:={\prod }_{i=1}^n{U}_i$ pedig a direkt szorzatuk. Legyen továbbá az $f:U\to \mathbb{ℂ}$ függvény holomorf, és $\xi \in U$ komplex pont! Ekkor az integrálképlet alakja:

$f(z_1,\dots ,z_n)=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}{\oint }_{\partial U_n}\cdots {\oint }_{\partial U_1}\frac{f({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)}{({\xi }_1-z_1)\cdots ({\xi }_n-z_n)}\mathrm{d}{\xi }_1\cdots \mathrm{d}{\xi }_n$

A holomorf függvények deriváltjaira magasabb dimenzióban is teljesül, hogy

$D^{k}f(z_1,\dots ,z_n)=\frac{k!}{(2\pi i{)}^n}{\oint }_{\partial U_n}\cdots {\oint }_{\partial U_1}\frac{f({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)}{({\xi }_1-z_1{)}^{k_1+1}\cdots ({\xi }_n-z_n{)}^{k_n+1}}d{\xi }_1\cdots d{\xi }_n$

illetve

$|D^{k}f(z)|\le \frac{M\cdot k!}{r^k},$

ahol $M:=\underset{\xi \in U}{\max }|f(\xi )|$ és $r=(r_1,\dots ,r_n)$ az $U$ policilinder sugara. További általánosítás a Bochner-Martinelli-képlet. Ennek bizonyítása nem végezhető el az egydimenziós esethez hasonlóan, mivel a Chauchy-integráltétel nem teljesül; viszont teljes indukció használható, amihez az egydimenziós eset szolgál kiindulópontként. A képlet multiindexekkel írható, mint

$f(z)=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}{\oint }_{\partial U}\frac{f(\xi )}{(\xi -z)}\mathrm{d}\xi$,

ahol $\partial U=\partial U_1\times \cdots \times \partial U_n$.

Ciklusokra

A komplex analízisben egy lánc folytonos görbék egész együtthatós lineáris kombinációja, ahol a negatív előjel az irányítás megfordítását jelenti. Egy ciklus olyan lánc, amiben minden komplex szám ugyanannyiszor vég- mint kezdőpont; azaz zárt görbék alkotta lánc. Legyen $D\subseteq \mathbb{ℂ}$ tartomány, $f:D\to \mathbb{ℂ}$ holomorf , és $\mathrm{\Gamma }$ nullholomorf ciklus $D$-ben. Ekkor minden $z\in D$ esetén, ami nem pontja a $\mathrm{\Gamma }$ ciklusnak, teljesül, hogy:

${\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(z)f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta$

ahol ${\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(z)$ $\mathrm{\Gamma }$ körülfordulási száma $z$ körül.

Források

• Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
• Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Cauchysche Integralformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként. Ez a szócikk részben vagy egészben a Polyzylinder című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.