Egyenletes konvergencia

A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {f_n} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha f_n(x) konvergenciasebessége nem függ x-től. A fogalom azért fontos, mert megőrzi az f_n függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

Definíció

Legyen $S$ halmaz, és $f_n:S\to \mathbb{ℝ}$ függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az $(f_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozat egyenletesen tart az $f:S\to \mathbb{ℝ}$ függvényhez, ha minden $ϵ>0$-hoz van egy $N$ természetes szám, hogy minden $x\in S$ helyre és minden $n\ge N$ sorszámra $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$. Tekintsük az $a_n=\underset{x}{\sup }|f_n(x)-f(x)|$ sorozatot, ahol a szuprémum az összes $x\in S$-re megy. Ekkor $f_n$ egyenletesen tart $f$-hez, ha $a_n$ tart nullához. Az $(f_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart $f$-hez, ha egy $S$ metrikus tér minden $x$ eleméhez létezik $r>0$, hogy $(f_n)$ egyenletesen konvergens $B(x,r)\cap S$-ben.

Megjegyzés

Megjegyzendő, hogy a definícióban a „létezik olyan N” és a „minden x” nem felcserélhető. Ennek felcserélésével a pontonkénti konvergenciához jutunk vissza. Ez a következőképpen definiálható: (f_n) pontonként konvergens, és határfüggvénye f : S → R, ha minden x ∈ S-re és minden ε > 0-ra van egy N szám, hogy minden n ≥ N-re f_n(x) − f(x)| < ε. Itt az x-re és az ε-ra vonatkozó kvantorok sorrendje közömbös, csak az N-re vonatkozó és az x-re vonatkozó sorrendje nem mindegy. Egyenletes konvergencia esetén az N csak ε-tól függhet, míg pontonkénti konvergencia esetén x-től is. Emiatt nyilvánvaló, hogy az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti. Fordítva ez nem igaz. Legyen S a [0,1] intervallum, és legyen f_n(x) = xⁿ minden n természetes számra. Ekkor az (f_n) sorozat pontonként tart f-hez, ahol f(x) = 0, ha x < 1, és f(1) = 1. Ez nem egyenletes konvergencia; ugyanis például ε = 1/4-hez nincs a definícióban megkövetelt N. Ugyanis n-re megoldva n > log ε / log x. Ez függ x-től, és ε-tól is, tehát nem lehet olyan N, ami nem függ x-től.

Tulajdonságok

• Minden egyenletesen konvergens sorozat lokálisan egyenletesen konvergens is.
• Minden lokálisan egyenletesen konvergens sorozat kompakt módon konvergens.
• Lokálisan kompakt terekben a kompakt módon konvergens sorozatok lokálisan egyenletesen konvergensek.
• Metrikus tereken folytonos függvények sorozatára, ha a képtér, mint metrikus tér teljes, akkor és csak akkor egyenletesen konvergens, ha egyenletesen Cauchy.
• Ha S kompakt, és $(f_n)$ folytonos függvények monoton növő sorozata ($f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ minden n-re), és pontonkénti határfüggvénye $f$ szintén folytonos, akkor Dini tétele miatt egyenletesen konvergens.
• Ha $S$ kompakt intervallum, és $(f_n)$ egyenletesen folytonos sorozat, ami pontonként konvergens, akkor az egyenletesen is konvergens.

Példák

Tekintsük egy X topologikus tér valós vagy komplex értékű korlátos függvényeit a szuprémum normával. Ekkor az egyenletes konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergenciával. Az $f_n:[0,1]\to [0,1]$ $f_n(x):=x^n$ sorozat pontonként konvergens, de nem egyenletesen konvergens:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [0,1)\\ 1,& x=1.\end{array}$

Ebből látható, hogy a pontonkénti konvergencia nem őrzi meg a differenciálhatóságot, de még a folytonosságot sem. Míg a sorozat minden eleme akárhányszor differenciálható, határfüggvénye még csak nem is folytonos. Az exponenciális függvény sorfejtése a Weierstass-féle M-teszttel megmutathatóan egyenletesen konvergens $\mathbb{ℂ}$ minden korlátos részhalmazán. A sor:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

A korlátos részhalmazok lefedhetők egy origó közepű körlappal, aminek sugarát jelölje R. A Weierstrass-féle M-teszthez találni kell egy $M_n$ felső korlátot a sor termjeire, ami nem függ a helytől.

$\left|\frac{z^n}{n!}\right|\le M_n,\mathrm{\forall }z\in D_R.$

De ez triviális:

$\left|\frac{z^n}{n!}\right|\le \frac{{\left|z\right|}^n}{n!}\le \frac{R^n}{n!}$

$\Rightarrow M_n=\frac{R^n}{n!}.$

Ha $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ konvergens, akkor az eredeti sorozat egyenletesen konvergens. A hányadoskritériumot alkalmazva:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M_{n+1}}{M_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{R^{n+1}}{R^n}\frac{n!}{(n+1)!}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{R}{n+1}=0$

ami azt jelenti, hogy az $M_n$ sorozat konvergens. Így az eredeti sorozat minden $z\in D_R$-re egyenletesen konvergens, és mivel $S\subset D_R$, S-en is egyenletesen konvergens.

Alkalmazások

Folytonosság

Ellenpélda a konvergenciatétel erősítésére, ami megelégedne a pontonkénti konvergenciával. A folytonos zöld ${\sin }^n(x)$ függvények a nem folytonos piros függvényhez tartanak. Ez azért lehet, mert a konvergencia nem egyenletes

Ha $I$ intervallum, vagy topologikus tér, akkor beszélhetünk $f_n$ és $f$ folytonosságáról. Az egyenletes konvergencia tétele azt állítja, hogy ha az $(f_n{)}_n$ sorozat tagjai folytonos függvények az $I$ intervallumon, és egyenletesen konvergálnak $f$-hez $I$-n, akkor $f$ folytonos $I$-n. A tétel bizonyítása az $ϵ/3$ fogásán alapul. Az $<ϵ$ egyenlőtlenséghez a folytonosság és az egyenletes konvergencia definíciójából három egyenlőtlenséget vezet be, és a háromszög-egyenlőtlenség alapján kombinálja őket. Ez eredményezi a kívánt egyenlőtlenséget $ϵ$-ra. Ez a tétel azért fontos, mivel a pontonkénti konvergencia nem biztosítja a határfüggvény folytonosságát. Pontosabban, a tétel arról szól, hogy az egyenletesen folytonos függvények egyenletes határfüggvénye egyenletesen folytonos. Lokálisan kompakt térben a folytonosság ekvivalens a lokális egyenletes folytonossággal, így a folytonos függvények egyenletes határfüggvénye folytonos.

Differenciálhatóság

Ha $S$ intervallum, és az $f_n$ függvények mind differenciálhatók, és tartanak az $f$ függvényhez, gyakran kívánatos, hogy az $f_n$ függvények deriváltjai tartsanak $f$ deriváltjához. Ez általában nem teljesül, még egyenletes konvergencia esetén sem. Még ez sem biztosítja, hogy a határfüggvény differenciálható legyen, és ha differenciálható is, akkor sem biztos, hogy teljesül rá a fent megkívánt tulajdonság. Legyen például $f_n(x)=\frac{1}{n}\sin (nx)$. Ez tart az azonosan nullához, de ez nem teljesül a deriváltjaira. Ehhez a deriváltaknak kell egyenletesen konvergálniuk, plusz az eredeti függvényeknek legalább egy pontban konvergálniuk. Maga az állítás így szól: Tegyük fel, hogy $f_n$ függvények sorozata, ezek mindegyike differenciálható $[a,b]$-n, és hogy egy $x_0\in >[a,b]$ pontban $f_n(x_0)$ konvergens. Ha $f{\text{'}}_n$ egyenletesen konvergens ezen az $[a,b]$-n, akkor $f_n$ egyenletesen konvergál egy $f$ függvényhez, és $f^{\prime }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f{\text{'}}_n(x)$ minden $x\in [a,b]$-re.

Integrálhatóság

Hasonlóan kívánatos tulajdonság, hogy az integrálható függvényekből álló függvénysorozat integráljai is a függvénysorozat határfüggvényének integráljához tartsanak. A Riemann-integrálra az egyenletes konvergencia teljesíti ezt: Ha $(f_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ Riemann-integrálható függvények egy sorozata az I kompakt intervallumon, ami egyenletesen tart az f határfüggvényhez, akkor f Riemann-integrálható, és Riemann-integrálja

$\underset{I}{\int }f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{I}{\int }{f}_n.$

Valójában ugyanez az alsó és a felső integrálra is teljesül. Ez azért következik, mert ha n elég nagy, akkor $f_n$ grafikonja f grafikonjától ε távolságon belül fut, így $f_n$ alsó és felső közelítő összegei $\epsilon |I|$ távolságon belül vannak f alsó és felső közelítő összegeitől. A Riemann-integrál helyett a Lebesgue-integrálra elég pontonkénti konvergenciát feltenni.

Analitikusság

Ha a komplex sík egy S tartományában analitikus függvények egyenletesen konvergens, akkor határfüggvényük is analitikus S-ben. EZ is azt bizonyítja, hogy a komplex függvények jobban viselkednek, mint a valósak, mivel valós analitikus függvények egy egyenletesen sorozatának határfüggvényének még csak differenciálhatónak sem kell lennie.

Sorok

Azt mondjuk, hogy ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ konvergenciája:

1. pontonkénti E-n, ha s_n pontonként konvergál, ahol s_n(x) az n-edik részösszeg
2. egyenletes E-n, ha s_n(x) egyenletesen konvergens
3. abszolút, ha ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}|f_n|$ minden x-re konvergál E-ben

Ezzel a definícióval a következő eredményre juthatunk: Tétel: Legyen x₀ pont E-ben, és legyen minden f_n folytonos x₀-ban. Ha f = ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ egyenletesen konvergál E-n, akkor f folytonos x₀-ban. Tegyük fel, hogy E = [a, b], és ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ egyenletesen konvergens E-n. Ekkor f integrálható E-n, és f_n integráljának sora az f_n sorának integráljával. Ez a tagonkénti integrálás elve.

Majdnem egyenletes konvergencia

Ha a függvények egy mértéktéren vannak értelmezve, akkor egy hasonló fogalom értelmezhető. Azt mondjuk, hogy az $(f_n)$ függvények egy sorozata majdnem egyenletesen konvergens E-n, ha minden $\delta >0$ számhoz van $E_{\delta }$ mérhető halmaz, aminek mérete kisebb, mint $\delta$, hogy az $(f_n)$ függvények egyenletesen konvergensek $E\setminus E_{\delta }$-on. Más szavakkal, a majdnem egyenletes konvergencia azt jelenti, hogy egy akármilyen kicsi halmaz kivételével a konvergencia egyenletes. Meg kell azt jegyezni, hogy a majdnem egyenletes konvergencia nem ugyanaz, mint a majdnem mindenütt való egyenletes konvergencia. Egorov tétele szerint, ha függvények egy sorozata egy véges mértéktéren pontonként majdnem mindenütt konvergens, ugyanitt majdnem egyenletesen is konvergens. A majdnem egyenletes konvergenciából következik a majdnem mindenütt konvergencia és a mérték szerinti konvergencia.

Általánosítások

A definíció közvetlenül kiterjeszthető S → M függvényekre is, ahol (M, d) metrikus tér. Itt |f_n(x) − f(x)| helyettesíthető d(f_n(x), f(x))-szel. A legáltalánosabb kiterjesztés függvények hálójára vonatkozik, amely függvények uniform térbe képeznek. A definíció egyszerűsíthető hiperreális környezetben. Ekkor egy $f_n$ sorozat egyenletesen konvergens az f* tartományon, és határfüggvénye f, ha minden x-re és minden végtelen n-re $f_n^{*}(x)$ végtelenül közel van $f^{*}(x)$-hoz.

Források

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• William Wade, An Introduction to Analysis , 3rd ed., Pearson, 2005

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Uniform convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.