Megoldóképlet

A megoldóképlet az n-edfokú

$a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0=0(a_n\ne 0)$

algebrai egyenlet megoldásait (gyökeit) szolgáltató algoritmus, mely véges sok lépésben véget érő és csak az algebrai műveleteket (a négy alapműveletet és a gyökvonást) használja. Iteratív megoldások, melyek a gyököket tetszőleges pontossággal megközelítik nem tekintendők „megoldóképletnek”. A gyakorlatban sokszor kielégítő a közelítő megoldás. Ilyen közelítő megoldások régóta ismeretesek (például Al-Kásié (?-1429) vagy a Bernoulli–Lobacsevszkij–Graeffe-féle gyökhatványozó eljárás. Először Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bizonyította szabatosan az algebra alaptételét, mely szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül mind valósak. Az n-edfokú egyenlet általában csak a komplex számkörben oldható meg.

Megoldóképletek

Elsőfokú egyenlet

Az $ax+b=0$ alakú elsőfokú egyenlet esetében az $x=-\frac{b}{a}$ megoldóképlet adja meg a megoldást.

Másodfokú egyenlet

Az $a{x}^2+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa: $D=b^2-4ac$ A másodfokú egyenlet megoldóképletét először, a mai alakhoz hasonló egységes formában (a felesleges, együtthatókkal kapcsolatos esetszétválasztások nélkül) Michael Stifel (1487-1567) írta fel, bár a mainál sokkal esetlenebb jelölésekkel.

Harmadfokú egyenlet

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ A harmadfokú esetre elméletben legalábbis a Girolamo Cardano (1501-1576) nevét viselő úgynevezett Cardano-képlet használható. A Cardano-képlet a következő: $x_1=-\frac{b}{3a}-\frac{\sqrt[3]{-b^2+3ac}}{3a\cdot \sqrt[3]{-2b^3+9abc-27a^{2}d+\sqrt{4(-b^2+3ac{)}^3+(-2b^3+9abc-27a^{2}d{)}^2}}}+\frac{\sqrt[3]{-2b^3+9abc-27a^{2}d+\sqrt{4(-b^2+3ac{)}^3+(-2b^3+9abc-27a^{2}d{)}^2}}}{3a\cdot \sqrt[3]{2}}$$x_2=-\frac{b}{3a}+\frac{(1+i\sqrt{3})(-b^2+3ac)}{3a\cdot 2^{2/3}\cdot \sqrt[3]{-2b^3+9abc-27a^{2}d+\sqrt{4(-b^2+3ac{)}^3+(-2b^3+9abc-27a^{2}d{)}^2}}}-\frac{(1-i\sqrt{3})\cdot \sqrt[3]{-2b^3+9abc-27a^{2}d+\sqrt{4(-b^2+3ac{)}^3+(-2b^3+9abc-27a^{2}d{)}^2}}}{6a\cdot \sqrt[3]{2}}$$x_3=-\frac{b}{3a}+\frac{(1-i\sqrt{3})(-b^2+3ac)}{3a\cdot 2^{2/3}\cdot \sqrt[3]{-2b^3+9abc-27a^{2}d+\sqrt{4(-b^2+3ac{)}^3+(-2b^3+9abc-27a^{2}d{)}^2}}}-\frac{(1+i\sqrt{3})\cdot \sqrt[3]{-2b^3+9abc-27a^{2}d+\sqrt{4(-b^2+3ac{)}^3+(-2b^3+9abc-27a^{2}d{)}^2}}}{6a\cdot \sqrt[3]{2}}$ A harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldóképlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a valós számkörből és, ha csak átmenetileg is, de belépünk a komplex számok világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége.

Negyedfokú egyenlet

A negyedfokú esetre a megoldóképlet Cardano tanítványától, Ludovico Ferraritól származik. Az ő módszere a teljes négyzetté alakítás volt. Egy évszázad múlva René Descartes Értekezés a módszerről című művében közölt zárt képletének alapja két másodfokú polinom szorzata volt, ahol a két elsőfokú tag egymás inverze volt (ti. így kiesik a harmadfokú tag).

A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari szerint

Az $x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ negyedfokú egyenlet megoldását Ludovico Ferrari (1522–1565) két másodfokú egyenlet megoldására vezette vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni. A harmadfokú egyenlet: $y^3+3py+2q=0$, ahol $3p=\frac{ac}{4}-\frac{b^2}{12}-d$ $2q=\frac{abc}{24}-\frac{a^{2}d}{8}-\frac{b^3}{108}+\frac{bd}{3}-\frac{c^2}{8}$. Megoldása a Cardano-képlettel történik. z-t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós y megoldásához b/6-ot hozzáadjuk: z = y + b/6. A másodfokú egyenletek: $x^2+(a/2+\sqrt{a^2/4-b+2z})\cdot x+z\pm \sqrt{z^2-d}=0$ $x^2+(a/2-\sqrt{a^2/4-b+2z})\cdot x+z\mp \sqrt{z^2-d}=0$ Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha $az-c<0$.

Ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek

Niels Henrik Abel (1802-1829) bebizonyította, hogy az ötödfokú esetben nem található megoldóképlet. Ez nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, hanem, hogy nincs olyan véges lépés után véget érő számítási eljárás, amely csak a négy algebrai műveletet továbbá a gyökvonást használja és általános módszert szolgáltatna a gyökök megkeresésére (azaz minden egyenlet esetén ugyanazzal az eljárással előállíthatnánk a gyököket). Később Évariste Galois (1811-1832) megmutatta, hogy az ötnél magasabb fokú esetekben sem létezik megoldóképlet.

Források

• Sain Márton: „Matematikatörténeti ABC”, Tankönyvkiadó, 1978.
• „Nincs királyi út”, Gondolat, 1986.

További információk

• A megalázott géniusz, YOUPROOF* Online másodfokú egyenlet megoldó és számológép