Csebisev-polinomok

A matematikában a Csebisev-polinomok olyan ortogonális polinomsorozatok, melyek kapcsolatban állnak a De Moivre képlettel, és amelyeket rekurzív módon lehet definiálni. Nevüket Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikus után kapták. Általában különbséget tesznek elsőfajú Csebisev-polinomok (jelölés T_n), illetve másodfajú Csebisev-polinomok között (jelölés U_n). A T_n, és az U_n Csebisev-polinomok n-ed fokúak, és bármelyik fajta Csebisev-polinomok sorozata polinomsorozatot alkot. A T_n Csebisev-polinomok a lehető legnagyobb vezető együtthatóval rendelkeznek, figyelembe véve azt a tényt, hogy abszolút értékük a [-1,1] intervallumon kötve van az 1 által. A Csebisev-polinomok fontos szerepet játszanak a közelítő módszerek elméletében, mivel az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökeit, melyeket Csebisev-csomópontoknak is hívnak, csomópontokként használják a polinomiális interpolációnál. Az így kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatásból származó problémát. A differenciálegyenletek területén a Csebisev-differenciálegyenletek megoldásaként találunk rájuk:

$(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0$

és

$(1-x^2)y^{″}-3x{y}^{\prime }+n(n+2)y=0$

Az első egyenletből kapjuk T_n-t, míg a másodikból U_n-t. Ezek az egyenletek a Sturm-Liouville differenciálegyenletek speciális esetei.

Definíciók

Az első öt T típusú Csebisev-polinom ábrázolása

Az első öt U típusú Csebisev-polinom ábrázolása

Az elsőfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

$\begin{array}{rl}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_{n+1}(x)& =2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).\end{array}$

A megszokott generátorfüggvény T_n-re:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2};$

Az exponenciális generátorfüggvény:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{1}{2}(e^{(x-\sqrt{x^2-1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2-1})t})=e^{tx}\cosh \left(t\sqrt{x^2-1}\right).$

A kétdimenziós potenciálelmélet területén releváns generátorfüggvény:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)\frac{t^n}{n}=\ln \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}.$

A másodfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

$\begin{array}{rl}{U}_0(x)& =1\\ U_1(x)& =2x\\ U_{n+1}(x)& =2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).\end{array}$

A megszokott generátorfüggvény U_n-re:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2};$

Az exponenciális generátorfüggvény:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)\frac{t^n}{n!}=e^{tx}(\cosh \left(t\sqrt{x^2-1}\right)+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\sinh \left(t\sqrt{x^2-1}\right)).$

Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok között

Az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok megfelelnek a Lucas sorozat egy kiegészítő párjának Ṽ_n(P,Q) és Ũ_n(P,Q), P = 2x és Q = 1 paraméterekkel:

$\begin{array}{rl}{\tilde{U}}_n(2x,1)& =U_{n-1}(x),\\ {\tilde{V}}_n(2x,1)& =2\cdot T_n(x).\end{array}$

Két kölcsönös rekurenciás összefüggést is kielégítenek:

$\begin{array}{rl}{T}_{n+1}(x)& =x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x),\\ U_n(x)& =x{U}_{n-1}(x)+T_n(x).\end{array}$

Az első- illetve másodfajú Csebisevpolinomokat a következő összefüggések is összekapcsolják:

$\begin{array}{rlrl}{T}_n(x)& =\frac{1}{2}(U_n(x)-U_{n-2}(x)).& & \\ T_n(x)& =U_n(x)-x{U}_{n-1}(x).& & \\ U_n(x)& =2\sum _{\text{odd }j}^n{T}_j(x)& & \text{páratlan }n.\\ U_n(x)& =2\sum _{\text{even }j}^n{T}_j(x)-1& & \text{páros }n.\end{array}$

Explicit kifejezések

A Csebisev-polinomok meghatározásának különböző megközelítései különböző explicit kifejezésekhez vezetnek, mint például:

$\begin{array}{rl}{T}_n(x)& =\{\begin{array}{ll}\cos (n\arccos x)& |x|\le 1\\ \\ \frac{1}{2}\left(\right(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n)& |x|\ge 1\\ \end{array}\\ \\ \\ & =\{\begin{array}{ll}\cos (n\arccos x)& -1\le x\le 1\\ \\ \cosh (n\mathrm{arcosh}x)& 1\le x\\ (-1{)}^n\cosh (n\mathrm{arcosh}(-x))& x\le -1\\ \end{array}\\ \\ \\ T_n(x)& =\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){(x^2-1)}^k{x}^{n-2k}\\ & =x^n\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){(1-x^{-2})}^k\\ & =\frac{n}{2}\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(-1{)}^k\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x{)}^{n-2k}n>0\\ & =n\sum _{k=0}^n(-2{)}^k\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}(1-x{)}^{k}n>0\\ & ={}_2{F}_1(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1}{2}(1-x))\\ \end{array}$

$x^n=2^{1-n}{{{\sum }^{\prime }}^{\prime }}_{j=0,n-j\text{ páros}}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n-j}{2}})T_j(x),$

ahol a szummajel alapja azt jelzi, hogy a j = 0 hozzájárulását felezni kell, ha megjelenik.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{U}_n(x)& =\frac{{(x+\sqrt{x^2-1})}^{n+1}-{(x-\sqrt{x^2-1})}^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}}\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1}){(x^2-1)}^k{x}^{n-2k}\\ & =x^n\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1}){(1-x^{-2})}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-(n+1)}{k})(2x{)}^{n-2k}& & n>0\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(2x{)}^{n-2k}& & n>0\\ & =\sum _{k=0}^n(-2{)}^k\frac{(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}(1-x{)}^k& & n>0\\ & =(n+1) \\ {}_2{F}_1(-n,n+2;\frac{3}{2};\frac{1}{2}(1-x))\\ \end{array} \end{gathered}$$

ahol ₂F₁ hipergeometrikus függvény.

Példák

Elsőfajú

Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom a −1 < x < 1 intervallumon: T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ és T₅.

Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom  A028297

$\begin{array}{rl}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_2(x)& =2x^2-1\\ T_3(x)& =4x^3-3x\\ T_4(x)& =8x^4-8x^2+1\\ T_5(x)& =16x^5-20x^3+5x\\ T_6(x)& =32x^6-48x^4+18x^2-1\\ T_7(x)& =64x^7-112x^5+56x^3-7x\\ T_8(x)& =128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\\ T_9(x)& =256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x\\ T_{10}(x)& =512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1\\ T_{11}(x)& =1024x^{11}-2816x^9+2816x^7-1232x^5+220x^3-11x\end{array}$

Másodfajú

Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom a −1 < x < 1 intervallumon: U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ és U₅. Bár nem látható a képen, de U_n(1) = n + 1 és U_n(−1) = (n + 1)(−1)ⁿ.

Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom  A053117

$\begin{array}{rl}{U}_0(x)& =1\\ U_1(x)& =2x\\ U_2(x)& =4x^2-1\\ U_3(x)& =8x^3-4x\\ U_4(x)& =16x^4-12x^2+1\\ U_5(x)& =32x^5-32x^3+6x\\ U_6(x)& =64x^6-80x^4+24x^2-1\\ U_7(x)& =128x^7-192x^5+80x^3-8x\\ U_8(x)& =256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1\\ U_9(x)& =512x^9-1024x^7+672x^5-160x^3+10x\end{array}$

Források

• (1995) „A Note on Some Peculiar Nonlinear Extremal Phenomena of the Chebyshev Polynomials”. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 38, 343–355. o. DOI:10.1017/S001309150001912X. 
• (1964) „The evaluation and estimation of the coefficients in the Chebyshev Series expansion of a function”. Math. Comp. 18, 274–284. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7. 
• (1994) „An Extremal Problem For Polynomials”. Proceedings of the American Mathematical Society 122, 191–193. o. DOI:10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1. 
• (2001) „Chebyshev's approximation algorithms and applications”. Comp. Math. Applic. 41, 433–445. o. 
• (1984) „Some properties and applications of Chebyshev polynomial and rational approximation”. Lect. Not. Math. 1105, 27–48. o. DOI:10.1007/BFb0072398. 
• Chebyshev Polynomials. Taylor & Francis (2002) 
• (2006) „Chebyshev series expansion of inverse polynomials”. J. Comput. Appl. Math. 196, 596–607. o. DOI:10.1016/j.cam.2005.10.013. 
• Remes, Eugene: On an Extremal Property of Chebyshev Polynomials
• (1976) „Converting interpolation series into Chebyshev Series by Recurrence Formulas”. Math. Comp. 30, 295–302. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3. 
• (1969) „The Solution of integral equations in Chebyshev series”. Math. Comput. 23, 837–844. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4. 
• (1966) „Algorithm 277, Computation of Chebyshev series coefficients”. Comm. ACM 9, 86–87. o. DOI:10.1145/365170.365195.