Csebisev-csomópontok

A Csebisev-csomópontok egyenértékűek az n egyenlőközű pontok x koordinátáival egy félkörön (itt, n=10).

A numerikus analízisben a Csebisev-csomópontok speciális valós algebrai számok, nevezetesen az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei. Ezeket gyakran használják csomópontként polinomiális interpolációban, mert a kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatás mértékét.

Meghatározás

Az első 50-es csebisevi polinom nullái

Egy adott n pozitív egész számra a ( − 1, 1) intervallumon lévő Csebisev-csomópontok a következők: $x_k=\cos \left(\frac{2k-1}{2n}\pi \right),k=1,\dots ,n.$ Ezek az elsőfajú Csebisev-polinom n-ed fokú gyökei. Egy tetszőleges [ a, b ] intervallumon lévő csomópontoknál affin transzformáció használható:

${\displaystyle }$$x_k=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a)cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi \right),k=1,...,n.$

Közelítés

A Csebisev-csomópontok fontosak a közelítéselméletben, mert különösen jó csomópontokat alkotnak a polinomiális interpolációhoz. Adott ƒ függvény $[-1,+1]$intervallumon és n darab $x_1,x_2,\dots ,x_n,$pont. Ezen az intervallumon, az interpolációs polinom az az egyedülálló legfeljebb $n-1$-ed fokú $P_{n-1}$ polinom melynek minden $x_i$ponton $f(x_i)$értéke van. Az interpolációs hiba a $x$-re:

$f(x)-P_{n-1}(x)=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}\prod _{i=1}^n(x-x_i)$

néhány (x-től függő) $\xi$-ra a [−1,1] intervallumon. Ezt minimalizáljuk

${\displaystyle }$$\underset{x\in [-1,1]}{\max }|\prod _{i=1}^n(x-x_i)|.$

Ezen produs egy n fokú monic polinom. Kimutatható, hogy az ilyen polinomok maximális abszolút értéke alulról 2¹⁻ⁿ -től kötött. Ezt a kötést a 2¹⁻ⁿT_n skálázott Csebisev-polinomok érik el, amelyek szintén monikusak. (Emlékezzünk arra, hogy |T_n(x)|≤1 x ∈[−1,1] esetén. Ezért, ha az x_i interpolációs csomópontok a T_n gyökei, a hiba:

${\displaystyle }$$|f(x)-P_{n-1}(x)|\le \frac{1}{2^{n-1}n!}\underset{\xi \in [-1,1]}{\max }|f^{(n)}(\xi )|.$

Egy tetszőleges [a, b] intervallum esetén a változó változása azt mutatja

${\displaystyle }$$|f(x)-P_{n-1}(x)|\le \frac{1}{2^{n-1}n!}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^n\underset{\xi \in [a,b]}{\max }|f^{(n)}(\xi )|.$

Irodalom

• Stewart, Gilbert W. (1996): Afternotes on Numerical Analysis (SIAM) ISBN 978-0-89871-362-6

További irodalom

• Burden, Richard L.–Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8. kiadás, 503–512. ISBN 0-534-39200-8