Gráfok tenzorszorzata

Gráfok tenzorszorzata.

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén a G és H gráfok tenzorszorzata egy gráfszorzás, olyan kétváltozós gráfművelet, amely gráfok rendezett párjaihoz egy új gráfot rendel. A G × H tenzorszorzat olyan gráf, melyre a következők igazak:

• G × H csúcshalmaza megegyezik a V(G) × V(H) Descartes-szorzattal;
• két G × H-beli csúcs, (u,u') és (v,v') pontosan akkor szomszédosak, ha
  • u' szomszédos v' -vel és
  • u szomszédos v-vel.

A tenzorszorzat egyéb megnevezései: direktszorzat, kategóriaszorzat, kardinális szorzat, relációs szorzat, Kronecker-szorzat, gyenge direktszorzat vagy konjunkció. A bináris reláción értelmezett tenzorszorzatot Alfred North Whitehead és Bertrand Russell vezették be Principia Mathematicájukban (1912). A művelet ekvivalens a gráfok szomszédsági mátrixainak Kronecker-szorzatával. A G × H jelölést néha egy másik műveletre, a gráfok Descartes-szorzatára használják, de gyakrabban vonatkozik a tenzorszorzatra. A kereszt szimbólum vizuálisan a két él tenzorszorzatából adódó két élre emlékeztet. Nem tévesztendő össze a gráfok erős szorzatával.

Példák

• A G × K₂ tenzorszorzat eredménye egy páros gráf, amit G páros dupla fedésének (bipartite double cover) neveznek. A Petersen-gráf páros dupla fedése a Desargues-gráf: K₂ × G(5,2) = G(10,3). Egy K_n teljes gráf páros dupla fedése koronagráf (egy K_n,n teljes páros gráf mínusz egy teljes párosítás).
• Egy teljes gráf önmagával való tenzorszorzata egy bástyagráf komplementere. Csúcsai elhelyezhetők egy n-szer n-es rácsban, ahol minden csúcs szomszédos azon csúcsokkal, melyekkel eltérő sorban és oszlopban van.

Tulajdonságok

A tenzorszorzat a gráfok kategóriáját és a gráfhomomorfizmusokat tekintve kategóriaelméleti szorzat. Tehát egy G × H-ba vivő homomorfizmus megfelel egy G-be, majd H-ba vivő homomorfizmus-párnak. Továbbá egy I gráf pontosan akkor vihető át homomorfizmussal G × H-ba, ha átvihető egy homomorfizmussal G-be, majd H-ba. Ennek belátásához vegyük észre, hogy az egyik irányban a f_G : I → G és f_H : I → H homomorfizmus-pár kiadja a következő homomorfizmust:

$\{\begin{array}{l}f:I\to G\times H\\ f(v)=(f_G(v),f_H(v))\end{array}$

A másik irányban egy f: I → G × H homomorfizmus előállítható a

$\{\begin{array}{l}{\pi }_G:G\times H\to G\\ {\pi }_G((u,u^{\prime }))=u\end{array}\{\begin{array}{l}{\pi }_H:G\times H\to H\\ {\pi }_G((u,u^{\prime }))=u^{\prime }\end{array}$

projekciós homomorfizmusokból a G-be és H-ba vivő homomorfizmusok elérésére. A G × H szomszédsági mátrixa megegyezik G és H szomszédsági mátrixainak tenzorszorzatával. Ha egy gráf előállítható gráfok tenzorszorzataként, akkor előfordulhat, hogy különböző gráfok tenzorszorzataként is előáll (a tenzorszorzatnak nem jellemzője az egyedi faktorizáció), de minden tenzorszorzat-reprezentáció ugyanannyi irreducibilis tényezőből áll elő. (Imrich 1998) megad egy polinom idejű algoritmust a tenzorszorzat-gráfok felismerésére és az ilyen gráfok faktorizációjára. Ha akár G, akár H páros gráf, akkor tenzorszorzatuk is az. G × H pontosan akkor összefüggő, ha mindkét tényező összefüggő és legalább az egyik tényező nem páros. A G páros dupla fedése pedig pontosan akkor összefüggő, ha G összefüggő és nem páros. A Hedetniemi-sejtés a tenzorszorzat kromatikus számát próbálja meghatározni.

Kapcsolódó szócikkek

• Gráfszorzás
• Gráfok erős szorzata

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Tensor product of graphs című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

• Hahn, Geňa & Sabidussi, Gert (1997), Graph symmetry: algebraic methods and applications, vol. 497, NATO Advanced Science Institutes Series, Springer, p. 116, ISBN 978-0-7923-4668-5, <https://books.google.com/books?id=-tIaXdII8egC&pg=PA116>.
• Imrich, W. (1998), "Factoring cardinal product graphs in polynomial time", Discrete Mathematics 192: 119–144, DOI 10.1016/S0012-365X(98)00069-7
• Imrich, Wilfried & Klavžar, Sandi (2000), Product Graphs: Structure and Recognition, Wiley, ISBN 0-471-37039-8
• Weichsel, Paul M. (1962), "The Kronecker product of graphs", Proceedings of the American Mathematical Society 13 (1): 47–52, DOI 10.2307/2033769
• Whitehead, A. N. & Russell, B. (1912), Principia Mathematica, Cambridge University Press, vol. 2, p. 384

További információk

• Nicolas Bray: Graph Categorical Product (angol nyelven). Wolfram MathWorld