Kronecker-szorzat

A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.

Definíció

Ha $A$ $m\times n$ méretű és $B$ $p\times q$ méretű mátrix, akkor a $C=A\otimes B$ Kronecker-szorzat nem más, mint

$C=(a_{ij}\cdot B)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)$

azaz az $A$ mátrix minden elemét megszorozzuk a $B$ mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete $mp\times nq.$ Részletesebben:

$\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right].$

Példák

Első példa

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)\\ \\ 3\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)& 4\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}5& 6& 10& 12\\ 7& 8& 14& 16\\ 15& 18& 20& 24\\ 21& 24& 28& 32\end{array}\right)$

Második példa

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 3\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ \\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ \\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 5& 0& 15& 0& 10\\ 5& 0& 15& 0& 10& 0\\ 1& 1& 3& 3& 2& 2\\ 0& 5& 0& 0& 0& 0\\ 5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 10& 0& 10\\ 5& 0& 10& 0& 10& 0\\ 1& 1& 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$

Tulajdonságai

A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában

$A\otimes B\ne B\otimes A$

Azonban mindig vannak $P,Q$ permutációmátrixok, hogy

$A\otimes B=P(B\otimes A)Q$

Hogyha $A$ és $B$ négyzetes, akkor választhatók úgy, hogy $P=Q^T$ legyen. A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$

$(B+C)\otimes A=B\otimes A+C\otimes A$

$\lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)$

A Kronecker-szorzás asszociatív:

$A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$

A transzponáltakra teljesül, hogy:

$(A\otimes B{)}^T=A^T\otimes B^T$.

A komplex konjugált mátrixra:

$\overline{A\otimes B}=\bar{A}\otimes \bar{B}$.

Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:

$(A\otimes B{)}^{*}=A^{*}\otimes B^{*}$

A Kronecker-szorzat rangja:

$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A\otimes B)=\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A)\cdot \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(B)$.

Ha $A$ mérete $n\times n$ és $B$ mérete $m\times m$, akkor a Kronecker-szorzat determinánsa

$\det (A\otimes B)={\det }^m(A){\det }^n(B)$.

Ha $({\lambda }_i{)}_{i=1..n}$ az $A$ és $({\mu }_j{)}_{j=1..m}$ a $B$ sajátértékei, akkor

$({\lambda }_i{\mu }_j{)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1..n}{j=1..m}}$ az $A\otimes B$ mátrix sajátértékei.

Ha $A,B$ invertálható, akkor

$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$.

Legyenek $A,B,C$ és $D$ komplex mátrixok a

• $A:m\times n$
• $B:p\times q$
• $C:n\times r$
• $D:q\times s$

dimenziókkal; ekkor léteznek az $AC$ és a $BD$ szorzatok, és

$AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D)$.

A pszeudoinverzekre

$(A\otimes B{)}^{+}=A^{+}\otimes B^{+}$.

Általában, ha $A^{-}$ és $B^{-}$ $A$ és $B$ általánosított inverzei, akkor $A^{-}\otimes B^{-}$ az $A\otimes B$ általánosított inverze.

Mátrixegyenletek

Adva legyenek az $A\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(k\times \ell ),B\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(m\times n),C\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(k\times n)$ mátrixok, és keressük azt az $X\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(\ell \times m)$ mátrixot, amire $AXB=C$. Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:

$AXB=C⟺(B^T\otimes A)\mathrm{vec}(X)=\mathrm{vec}(C)$

ahol $\mathrm{vec}$ a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az $X\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(\ell \times m)$ mátrix oszlopait ${\overrightarrow{x}}_1,...,{\overrightarrow{x}}_m$, ekkor az $\mathrm{vec}(X)=\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{x}}_1\\ ⋮\\ {\overrightarrow{x}}_m\end{array}\right)$ egy $\ell \cdot m$ hosszú oszlopvektor. Hasonlóan, $\mathrm{vec}(C)$ egy $m\cdot n$ oszlopvektor. A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan $X\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(\ell \times m)$, akkor az $X$ mátrix is megvan.

Az ekvivalencia bizonyítása

Teljesül $AXB=C⟺AX({\overrightarrow{b}}_1,...,{\overrightarrow{b}}_n)=({\overrightarrow{c}}_1,...,{\overrightarrow{c}}_n)⟺AX\overrightarrow{b_i}=\overrightarrow{c_i}⟺\left(\begin{array}{c}AX{\overrightarrow{b}}_1\\ ⋮\\ AX{\overrightarrow{b}}_n\end{array}\right)=\mathrm{vec}(C)$ ahol $\left(\begin{array}{c}A({\overrightarrow{x}}_1,...,{\overrightarrow{x}}_m){\overrightarrow{b}}_1\\ ⋮\\ A({\overrightarrow{x}}_1,...,{\overrightarrow{x}}_m){\overrightarrow{b}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}A(b_{11}{\overrightarrow{x}}_1+...+b_{m1}{\overrightarrow{x}}_m)\\ ⋮\\ A(b_{1n}{\overrightarrow{x}}_1+...+b_{mn}{\overrightarrow{x}}_m)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}A{b}_{11}& \cdots & A{b}_{m1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ A{b}_{1n}& \cdots & A{b}_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{x}}_1\\ ⋮\\ {\overrightarrow{x}}_m\end{array}\right)=(B^T\otimes A)\mathrm{vec}(X)$

Mátrix együtthatós egyenletek

Az $i=1,...,r$ és $j=1,...,s$ indexekhez legyenek adva az $A_{ij}\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(k\times \ell ),B_{ij}\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(m\times n),C_i\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(k\times n)$ mátrixok. Keressük az $X_i\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(\ell \times m)$ mátrixokat, amelyekre megoldjuk az

$\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}{X}_1{B}_{11}+...+A_{1s}{X}_s{B}_{1s}& =& C_1\\ & ⋮& \\ A_{r1}{X}_1{B}_{r1}+...+A_{rs}{X}_s{B}_{rs}& =& C_r\\ \end{array}\right]$

egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:

$\left(\begin{array}{ccc}{B}_{11}^T\otimes A_{11}& \cdots & B_{1s}^T\otimes A_{1s}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{r1}^T\otimes A_{r1}& \cdots & B_{rs}^T\otimes A_{rs}\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{vec}{X}_1\\ ⋮\\ \mathrm{vec}{X}_s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{vec}{C}_1\\ ⋮\\ \mathrm{vec}{C}_r\end{array}\right)$

Kapcsolat a tenzorszorzással

Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti ${\phi }_1:V_1⟶W_1$ és ${\phi }_2:V_2⟶W_2$ lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy

${\phi }_1\otimes {\phi }_2:V_1\otimes V_2⟶W_1\otimes W_2$ lineáris leképezés

a ${\phi }_1\otimes {\phi }_2(v_1\otimes v_2)={\phi }_1(v_1)\otimes {\phi }_2(v_2)$ -vel vett tenzorszorzatok között. Hogyha bázist választunk az $V_1,W_1,V_2$ és $W_2$ tereken, akkor a ${\phi }_1$ lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot $A$, és a ${\phi }_2$ ábrázolását $B$! Ekkor az $A\otimes B$ Kronecker-szorzat a ${\phi }_1\otimes {\phi }_2$ tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha $(e_1,e_2,\dots ,e_n)$ a $V_1$ bázisa, és $(f_1,f_2,\dots ,f_p)$ a $V_2$ bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a $(e_1\otimes f_1,e_1\otimes f_2,\dots ,e_1\otimes f_p,e_2\otimes f_1,\dots ,e_n\otimes f_{p-1},e_n\otimes f_p)$ bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.

További alkalmazásai

A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix. A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.

Kapcsolódó műveletek

A Tracy‑Singh és a Khatri–Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix m_i × n_j méretű A_ij blokkokra, a B p × q-s mátrix p_k × q_l méretű B_kl blokkokra particionálva, ahol Σ_i m_i = m, Σ_j n_j = n, Σ_k p_k = p és Σ_l q_l = q.

Tracy–Singh-szorzat

A Tracy–Singh-szorzat definíciója:

$\mathbf{A}\circ \mathbf{B}=({\mathbf{A}}_{ij}\circ \mathbf{B}{)}_{ij}=(({\mathbf{A}}_{ij}\otimes {\mathbf{B}}_{kl}{)}_{kl}{)}_{ij}$

ahol a szorzat ij indexű blokkja az m_i p × n_j q méretű A_ij ○ B mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az m_i p_k × n_j q_l méretű A_ij ⊗ B_kl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa. Példa: Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{B}}_{12}\\ {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{B}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right],$

kapjuk, hogy:

$\mathbf{A}\circ \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{11}\circ \mathbf{B}& {\mathbf{A}}_{12}\circ \mathbf{B}\\ {\mathbf{A}}_{21}\circ \mathbf{B}& {\mathbf{A}}_{22}\circ \mathbf{B}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}\otimes {\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{A}}_{11}\otimes {\mathbf{B}}_{12}& {\mathbf{A}}_{12}\otimes {\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}\otimes {\mathbf{B}}_{12}\\ {\mathbf{A}}_{11}\otimes {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{A}}_{11}\otimes {\mathbf{B}}_{22}& {\mathbf{A}}_{12}\otimes {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{A}}_{12}\otimes {\mathbf{B}}_{22}\\ {\mathbf{A}}_{21}\otimes {\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{A}}_{21}\otimes {\mathbf{B}}_{12}& {\mathbf{A}}_{22}\otimes {\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{A}}_{22}\otimes {\mathbf{B}}_{12}\\ {\mathbf{A}}_{21}\otimes {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{A}}_{21}\otimes {\mathbf{B}}_{22}& {\mathbf{A}}_{22}\otimes {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}\otimes {\mathbf{B}}_{22}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 4& 7& 8& 14& 3& 12& 21\\ 4& 5& 16& 28& 20& 35& 6& 24& 42\\ 2& 4& 5& 8& 10& 16& 6& 15& 24\\ 3& 6& 6& 9& 12& 18& 9& 18& 27\\ 8& 10& 20& 32& 25& 40& 12& 30& 48\\ 12& 15& 24& 36& 30& 45& 18& 36& 54\\ 7& 8& 28& 49& 32& 56& 9& 36& 63\\ 14& 16& 35& 56& 40& 64& 18& 45& 72\\ 21& 24& 42& 63& 48& 72& 27& 54& 81\end{array}\right].$

Története

A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.

Források

• MathWorld: Matrix Direct Product
• Earliest Uses: Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices.
• Charles F. Van Loan: The ubiquitous Kronecker product. Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000) 85–100 (online Postscript fájl)