Sajátvektor és sajátérték

A lineáris algebrában egy lineáris transzformáció sajátvektora a vektortér olyan nemnulla vektora, amelyet a leképezés a skalárszorosába visz. Négyzetes mátrixok sajátvektorainak a mátrixhoz tartozó leképezés sajátvektorait nevezzük. A szóban forgó skalár értékek a sajátértékek. Sajátértékei és sajátvektorai adott esetben jól jellemzik a transzformációt, és fontos szerepet játszanak a matematika csaknem valamennyi ágában, például az algebrában, az analízisben, a geometriában. A fogalom számos hasznos alkalmazása létezik a fizikában, különösen fontos szerepet tölt be a kvantummechanikában, de bárhol szükség lehet a sajátértékekre és a sajátvektorokra, ahol differenciálegyenleteket használnak.

Fogalmak

Ha V vektortér egy T test felett és A egy V $\to$ V lineáris leképezés, akkor

• v∈V nemnulla vektort az A leképezés egy sajátvektorának nevezzük, ha létezik olyan λ ∈ T, hogy teljesül az

$\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$

egyenlőség

• a λ skalárt az A egy v sajátvektorához tartozó sajátértékének nevezzük, ha Av=λv
• a λ skalárt az A sajátértékének nevezzük, ha van A-nak olyan sajátvektora, amihez λ mint sajátérték tartozik
• a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér mindazon sajátvektorok által kifeszített altér, melyekhez λ mint sajátérték tartozik
• a λ sajátérték geometriai multiplicitása a λ-hoz tartozó sajátaltér dimenziója
• ha V véges dimenziós, akkor A spektruma az A sajátértékeinek halmaza.

Tulajdonságok

• Ha λ egy invertálható mátrix sajátértéke, akkor 1/λ a mátrix inverzének sajátértéke
• Egy valós mátrix spektruma megegyezik a mátrix transzponáltjának spektrumával
• Egy mátrix sajátértékeinek összege a mátrix nyoma, és a sajátértékek szorzata a mátrix determinánsa
• A főtengelytétel miatt a valós szimmetrikus mátrixok és a komplex önadjungált mátrixok minden sajátértéke valós. Ezek előjelétől függően a mátrix lehet:
  • pozitív definit, ha minden sajátérték pozitív
  • pozitív szemidefinit, ha minden sajátérték ≥0
  • negatív szemidefinit, ha minden sajátérték ≤0
  • negatív definit, ha minden sajátérték negatív
  • indefinit minden más esetben
• Azok a mátrixok, amik felcserélhetők a transzponáltjukkal, ortogonális bázisban diagonalizálhatók. Ilyenek például a szimmetrikus, az önadjungált, az ortogonális és az unitér mátrixok
• Minden komplex mátrix hasonló egy háromszögmátrixszal, aminek a főátlója éppen a sajátértékeket tartalmazza
  • Továbbá hasonló egy blokkos diagonálmátrixszal, amiben a blokkok a sajátértékeket tartalmazzák, esetleg mellettük egy átlóban egyesek állnak. Ez a mátrix Jordan-féle normálformája
• Jelöljön A egy szimmetrikus mátrixot! Ekkor Sylvester tehetetlenségi tétele miatt minden olyan S invertálható mátrixra, amire az S^TAS mátrix diagonális, az S^TAS mátrix főátlóján álló elemek előjele mindig ugyanaz marad

Sajátérték és sajátvektor meghatározása

Legyen adott egy A négyzetes mátrix. A fenti definíciónak megfelelő sajátérték-egyenlet a következő:

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{v}=\lambda \cdot \mathbf{v}$

Az I egységmátrix felhasználásával ez a következőképp írható:

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{v}=\lambda \cdot \mathbf{I}\cdot \mathbf{v}$ (az egységmátrixszal való szorzás nem változtatja meg a vektort)

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{v}-\lambda \cdot \mathbf{I}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}$, amiből v-t kiemelve (a disztributivitást kihasználva):

$(\mathbf{A}-\lambda \cdot \mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}$

A definícióban szerepel az a kikötés, hogy v vektor nem a nullvektor. Különben ebben az egyenletben $\lambda$ tetszőleges lehetne. Ha viszont nem nullvektor v esetén is nullvektor tud lenni a szorzat, akkor

$\det (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0$, ahol „det” a determinánst jelöli.

A fenti mátrix abban különbözik az eredeti A mátrixtól, hogy a főátlóban $a_{ii}$ elemek helyett $a_{ii}-\lambda$ elemek vannak, a többi elem viszont megegyezik. Az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük a következő polinomot:

$P(\lambda )=\det (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})$

Ennek a polinomnak a foka megegyezik a mátrix dimenziójával, azaz egy $n\times n$ dimenziós mátrixhoz legfeljebb $n$ különböző sajátérték tartozhat. A fenti módszer nem a legpraktikusabb módja a sajátértékek megkeresésének, hiszen a karakterisztikus polinom már 3×3-as mátrixok esetén is harmadfokú, aminek a megoldása nehézkes; ráadásul negyedfokúnál magasabb polinomokra nincs is megoldóképlet. A ${\lambda }_i$-hez tartozó sajátvektorokat ezek alapján az

$(\mathbf{A}-{\lambda }_i\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}$

egyenletből számíthatjuk ki.

Példa: Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása

Feladat a következő Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak a meghatározása:

${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

A sajátérték-egyenlet a következő:

${\sigma }_x\cdot \mathbf{v}=\lambda \cdot \mathbf{v}=\lambda \cdot \mathbf{I}\cdot \mathbf{v}$

Kiírva:

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$

A jobb oldalt kivonva a bal oldalból és kiemelve v vektort, a következőt kapjuk:

$[\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)-\lambda \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)]\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=[\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)]\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=0$

A mátrix karakterisztikus polinomja:

$P(\lambda )=\det \left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2-1$

A sajátértékek pedig $P(\lambda )=0$ egyenlet megoldásai(${\lambda }^2-1=0$), azaz a sajátértékek

${\lambda }_1=1$

${\lambda }_2=-1$

Az egyes sajátvektorokat tehát a következőképp határozhatjuk meg:

$\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1^{(1)}\\ v_2^{(1)}\end{array}\right)=0$

A felső zárójeles index azt fejezi ki, hogy melyik sajátértékhez tartozó sajátvektorkomponensről van szó. A fenti egyenlethez tartozó egyenletrendszer a következő:

$-v_1^{(1)}+v_2^{(1)}=0$

$v_1^{(1)}-v_2^{(1)}=0$

Melyekből következik, hogy $v_1^{(1)}=v_2^{(1)}$, vagyis az egyre normált sajátvektora ${\lambda }_1$-nek:

${\mathbf{v}}^{(1)}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

${\lambda }_2$-höz tartozó sajátvektor megkeresése teljesen ugyanúgy zajlik, ahogy azt fent láttuk:

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1^{(2)}\\ v_2^{(2)}\end{array}\right)=0$

Az egyenlethez tartozó egyenletrendszer:

$v_1^{(2)}+v_2^{(2)}=0$

$v_1^{(2)}+v_2^{(2)}=0$

Vagyis $v_1^{(2)}=-v_2^{(2)}$, így ${\lambda }_2$ normált sajátvektora:

${\mathbf{v}}^{(2)}=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

Numerikus módszerek

A negyedfokúnál magasabb fokú egyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel, ezért numerikus módszereket kell használni. Az egyenletek kiszámítása és megoldása hibaterjedéssel jár, ami már a hússzor húszas esetben a numerikus információ teljes elvesztésével jár. Ezért különféle módszereket dolgoztak ki a sajátértékek és a sajátvektorok meghatározására. Ilyenek:

• QR-módszer
• hatványiteráció
• inverz iteráció
• Lánczos-módszer
• Arnoldi-módszer
• Jacobi-módszer

A sajátértékek becslésére a Gerschgorin-körök szolgálnak.

Sajátalterek

Egy adott sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a nullvektor alteret alkotnak. Ezt az alteret az adott sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezzük.

Általánosítás

A funkcionálanalízis a függvényterek közötti leképezésekkel foglalkozik. Ezekhez is tartoznak sajátértékek és sajátvektorok; a sajátértékeket gyakran sajátelemeknek, a sajátvektorokat sajátfüggvényeknek hívják.

Források

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek