Jordan-féle normálforma

A lineáris algebrában minden $F$ algebrailag zárt test feletti négyzetes $A$ mátrix (ahol a mátrix sajátértékei $F$ test elemei) egy adott normálalakra hozható a bázis megváltoztatásával. Ebben a normálformában a főátlóban és a főátló felett levő elemek kivételével minden elem 0, tehát a mátrix majdnem diagonális. A mátrixoknak ezt az alakját Camille Jordanról nevezték el.

Jordan-mátrix

Egy $F$ test feletti Jordan-blokk olyan n×n-es mátrix, ahol a főátlóban minden elem $\lambda \in F$ , a főátló felett 1-esek állnak, a többi elem pedig 0. $\lambda$ a Jordan-blokk sajátértéke.

$J_{\lambda ,n}=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \lambda & 1\\ 0& 0& 0& 0& \lambda \\ \end{array}\right)$

A Jordan-mátrix olyan négyzetes mátrix, amely főátlójában Jordan-blokkok állnak, a többi elem pedig 0.

$J=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{{\lambda }_1,n_1}& & \\ & \ddots & \\ & & J_{{\lambda }_i,n_i}\end{array}\right]$

A $J$ mátrix $J_{{\lambda }_1,n_1},J_{{\lambda }_2,n_2},...,J_{{\lambda }_i,n_i}$ Jordan blokkok direkt szorzata. Jelölése: $J_{{\lambda }_1,n_1}\oplus J_{{\lambda }_2,n_2}\oplus ...\oplus J_{{\lambda }_i,n_i}$ vagy $\text{diag}(J_{{\lambda }_1,n_1},J_{{\lambda }_2,n_2},...,J_{{\lambda }_i,n_i})$ egy olyan $(n_1+n_2+...+n_i)$×$(n_1+n_2+...+n_i)$-s Jordan-mátrix, amelynek első tömbje $J_{{\lambda }_1,n_1}$ , második tömbje $J_{{\lambda }_2,n_2}$ , ... , i-edik tömbje $J_{{\lambda }_i,n_i}$ . Például a következő 9×9-es Jordan-mátrixnak van egy 3×3-as 0 sajátértékű blokkja, két 2×2-es 3 sajátértékű blokkja és egy 2×2-es 5 sajátértékű blokkja:

$J=\left(\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 5\end{array}\right)$

Jelölése: $J_{0,3}\oplus J_{3,2}\oplus J_{3,2}\oplus J_{5,2}$ vagy $\text{diag}(J_{0,3},J_{3,2},J_{3,2},J_{5,2})$. Két Jordan-mátrix hasonló, ha ugyanazokból a Jordan-blokkokból állnak (a blokkok elhelyezkedésétől függetlenül).

A Jordan-normálforma tulajdonságai

Bármely $F$ test elemeiből képzett n×n-es $A$ mátrix hasonló egy $F$ test feletti n×n-es $J$ Jordan-mátrixhoz. Tehát létezik $P$ invertálható mátrix, melyre $P^{-1}AP=J$ . $J$-t az $A$ mátrix Jordan-normálformájának nevezzük. A következő tulajdonságokat állapíthatjuk meg:

• $A$ sajátértékei a $J$ mátrix főátlójában álló elemek.
• Egy adott ${\lambda }_i$ sajátérték geometriai multiplicitása Ker($A-{\lambda }_{i}I$) dimenziója (ahol $I$ egységmátrix), és ennyi a ${\lambda }_i$-hez tartozó Jordan-blokkok száma.
• Egy adott ${\lambda }_i$ sajátértékhez tartozó összes Jordan-blokk méretének összege ${\lambda }_i$ algebrai multiplicitása.
• $A$ akkor és csak akkor diagonalizálható, ha bármely $\lambda$ sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik.

Egy $A$ mátrix Jordan-normálformájának meghatározásához nem elegendő ismerni a sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását. Feltéve, hogy egy $\lambda$ sajátértékhez tartozó $m(\lambda )$ algebrai multiplicitás ismert, a Jordan-normálforma felépítését $(A-\lambda {)}^{m(\lambda )}$ hatványok rangjának vizsgálatával határozhatjuk meg: Tegyük fel, hogy egy n×n-es $A$ mátrixnak egyetlen sajátértéke $\lambda$. Tehát $m(\lambda )=N$. A legkisebb $k_1$ egész, melyre

$(A-\lambda {)}^{k_1}=0$

a legnagyobb Jordan-blokk mérete $A$ Jordan-normálformájában.

$(A-\lambda {)}^{k_1-1}$

rangja a $k_1$ méretű Jordan-blokkok száma. Hasonlóan

$(A-\lambda {)}^{k_1-2}$

rangja a $k_1$ méretű Jordan-blokkok számának kétszeresének és a $k_1-1$ méretű Jordan-blokkok számának összege. Ezt a módszert ismételve megkapjuk $A$ Jordan-normálformájának felépítését. Több sajátérték esetén hasonlóan járhatunk el. Ezt felhasználva belátható, hogy ha $J_1$ és $J_2$ $A$ mátrix Jordan-normálformái, akkor $J_1$ és $J_2$ hasonló.

Hatványozás

Ha $k$ egy természetes szám akkor egy mátrix Jordan-normálformájának $k$-adik hatványa a következő:

${\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2& 1\\ 0& 0& 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right]}^k=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_1^{k-1}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}){\lambda }_1^{k-2}& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_1^{k-1}& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1^k& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_2^{k-1}\\ 0& 0& 0& 0& {\lambda }_2^k\end{array}\right]$

Tehát hatványozás után minden egyes Jordan-blokkból egy felső háromszögmátrix lesz. A felső háromszögmátrixok főátlójában ${\lambda }_i^k$, a főátló felett $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_i^{k-1}$, ... , végül $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{l}){\lambda }_i^{k-l}$ szerepel, ha $J_i$ a ${\lambda }_i$ sajátértékhez tartozó (l+1)×(l+1)-es Jordan-tömb. (Megjegyzés: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{l})=0$, ha $k<l$.) Például: $(J_{3,3}\oplus J_{2,5}\oplus J_{6,2}\oplus {)}^3$

${\left(\begin{array}{cccccccccc}3& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 2& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 6& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 6\end{array}\right)}^3=\left(\begin{array}{cccccccccc}27& 27& 9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 27& 27& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 27& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 8& 12& 6& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 8& 12& 6& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 8& 12& 6& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 8& 12& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 8& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 216& 108\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 216\end{array}\right)$

Példa a Jordan-normálforma és az áttérési mátrix kiszámítására

Legyen

$A=\left[\begin{array}{cccc}5& 4& 2& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ -1& -1& 3& 0\\ 1& 1& -1& 2\end{array}\right]$

$A$ mátrix karakterisztikus polinomja:

$\det (\lambda I-A)={\lambda }^4-11{\lambda }^3+42{\lambda }^2-64\lambda +32=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4{)}^2$

Tehát az algebrai multiplicitás szerint a sajátértékei 1, 2, 4 és 4. A hozzájuk tartozó sajátvektorok az $A{v}_i={\lambda }_i{v}_i$ egyenlet megoldásával kiszámíthatóak: $v_1=p\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]v_2=q\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]v_3,v_4=t\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right]$ Tehát a mátrix Jordan-normálformája:

$J=J_{1,1}\oplus J_{1,2}\oplus J_{2,4}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 4& 1\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right]$

A $P$ áttérési mátrix (melyre $J=P^{-1}AP$) oszlopvektorai a sajátvektorok (p=1, q=1, illetve $v_3$-nál s=1, t=0, $v_4$-nél s=0, t=1 választással):

$P=\left[v_1\right|v_2\left|v_3\right|v_4]=\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right].$

Ellenőrizhető az eredmény helyessége:

$P^{-1}AP=J=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 4& 1\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right]$

Ha megváltoztatjuk a sajátvektorok sorrendjét, azaz a $v_1$ , $v_2$ , $(v_3,v_4)$ sorrendet ($v_3$ és $v_4$ egymás mellett marad), akkor megváltozik a Jordan-tömbök sorrendje a Jordan-normálformában.

Források

• Összefoglaló a Jordan-mátrixokról (angolul)
• Jordan-féle normálforma (angolul)

Kapcsolódó szócikkek

• Mátrix logaritmusa

További információk

• Stoyan Gisbert-Takó Galina: Numerikus módszerek I. (digitális tankönyv)
• Bevezetés a mátrixalgebrába (angolul)
• Mátrixalgebra
• Jordan-féle normálforma rövid összefoglalója (angolul)