Weierstrass-szélsőértéktétel

A Weierstrass-szélsőértéktétel a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben Rⁿ-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.

A tétel

Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát. Tehát, ha $[a,b]$ korlátos és zárt és $f$ : $[a,b]$ $\to$R folytonos függvény, akkor létezik olyan $p$, $q$ ∈ $[a,b]$, hogy minden $x$ ∈ $[a,b]$-re $f$ $(p)$ ≤ $f$ $(x)$ ≤ $f$ $(q)$.

Bizonyítás sorozatkompaktsággal

Bolzano–Weierstrass-tétellel

Belátjuk, hogy $f$ ( $[a,b]$ ) sorozatkompakt, amiből a Bolzano–Weierstrass-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy $f$ ( $[a,b]$ ) korlátos és zárt. Legyen ($y_n$) egy $f$ ( $[a,b]$ )-ben haladó sorozat. Belátjuk, hogy van olyan konvergens részsorozata, melynek határértéke szintén $f$ ( $[a,b]$ ) beli. Minden $n$ természetes számra

$H_n:=\{x\in [a,b]\mid y_n=f(x))\}\ne \mathrm{\varnothing }$

így a kiválasztási axióma miatt létezik olyan ($x_n$) sorozat, mely $[a,b]$-ben halad és minden $n$ természetes számra $y_n$ = $f$ $(x_n)$. A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor ($x_n$)-nek létezik konvergens ($z_k$) részsorozata, melynek határértéke az $[a,b]$-beli $u$ szám. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján ekkor az ( $f$ ($z_k$) ) sorozat, mely az ($y_n$) részsorozata, konvergens és határértéke az $f$ ( $[a,b]$ )-beli $f$ $(u)$ szám. A Bolzano–Darboux-tételből tudjuk, hogy $f$ értékkészlete intervallum. Az előbb beláttuk, hogy ez korlátos és zárt. Mivel így min $f$ ( $[a,b]$ ) ∈ $f$ ( $[a,b]$ ) és max $f$ ( $[a,b]$ ) ∈ $f$ ( $[a,b]$ ), azaz a függvény felveszi értékkészletének végpontjait, ezért léteznek olyan $p$ és $q$ $[a,b]$-beli számok, hogy

$f(p)=\min f([a,b])$ és

$f(q)=\max f([a,b])$

Így az állítást beláttuk.

További bizonyítások

A tétel efféle bizonyítása két lépésben zajlik. Belátjuk, hogy a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény

1. korlátos – ez a korlátosság tétele
2. felveszi minimumát és maximumát – ez a szélsőérték tétele vagy a szűkebb értelemben vett Weierstrass-tétel.

Mindkét lemmát többféleképpen is igazolhatjuk.

1. A korlátosság igazolása

Heine–Borel-tétellel

Belátjuk, hogy $f$ korlátos. A folytonosság definíciója miatt minden ε-hoz, például :ε=1-hez és minden x ∈ $[a,b]$-hez létezik olyan δ_x pozitív szám, hogy minden $x^{\prime }$ ∈ $[a,b]$-re, amennyiben $|x-x^{\prime }|$ < δ_x, akkor $|f(x)-f(x^{\prime })|$ < ε. Vegyük minden $[a,b]$-beli pontnak a δ_x sugarú nyílt környezetét. Ez a nyílt halmaz rendszer lefedi $[a,b]$-t így a Borel–Lebesgue-tétel miatt ezek közül már véges sok is lefedi $[a,b]$-t. Legyen ez az

$I_i=(x_i-{\delta }_{x_i},x_i+{\delta }_{x_i}),i=1...n$

véges intervallumrendszer. Az $f(x_i)$ számok között van legkisebb és legnagyobb, legyen ez rendre $f(u)$ és $f(v)$. Minden $x$ ∈ $[a,b]$-re létezik i, hogy x ∈ I_i, így

$f(u)-\epsilon \le f(x_i)-\epsilon <f(x)<f(x_i)+\epsilon \le f(v)+\epsilon$

tehát $f$ korlátos.

A felsőhatár axiómával

Legyen H a következő halmaz:

$H:=\{x\in [a,b]\mid f\text{ az }[a,x]\text{-en korl}\acute{\mathrm{a}}\text{tos}\}$

H nem üres, mert a ∈ H, és felülről korlátos, mert $[a,b]$ lefedi, így a felsőhatár axióma és [a,b] zártsága miatt létezik sup H ∈ [a,b]. Legyen az a h szám. Állítjuk, hogy h = b. Ha ugyanis h < b állna, akkor minden ξ ∈ [a,b]-re, melyre h < ξ teljesül [a,ξ]-ben f már nem lenne korlátos. Azonban f a h-ban is folytonos, így a h egy alkalmas δ sugarú környezetében korlátos, így [a , h - δ]-ban és [h - δ , h + δ]-ban is, amiből következik, hogy az unióban, [a , h + δ]-ban is, ami ellentmond annak, hogy h a H szuprémuma, hiszen a nála nagyobb h + δ is elem H-nak.

2. A szélsőértéktétel

Az értékkészlet szuprémumtulajdonságával

Belátjuk, hogy $f$ felveszi a szuprémumát és infimumát. Nemüres, korlátos valós részhalmaznak van alsó és felső határa. Legyen $f$ értékkészletének felső határa $S$. Ekkor minden $x$ ∈ $[a,b]$-re

$f(x)\le S$

Ha nem lenne $x_S$ ∈ $[a,b]$, hogy $f(x_S)$ = $S$, akkor a

$g(x)=\frac{1}{S-f(x)}x\in [a,b]$

függvény értelmezve lenne a teljes $[a,b]$-n. $g$ folytonos, mert a folytonosságot megőrző függvényműveletekkel lett $f$-ből elkészítve, de nem korlátos, ami az előző szakasz miatt ellentmondást ad. Minthogy ugyanis $S$ a szuprémum, minden ε pozitív számra létezik $x$ ∈ $[a,b]$, hogy $S$ - ε < $f(x)$, de ekkor g(x) > 1/ε, azaz $g$ minden határon túl nő.

Következmény

A Bolzano–Darboux-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel felhasználásával tehát a Weierstrass-tételt a következő formában is kimondhatjuk: Tétel – Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény képe kompakt. Ezt néha Weierstrass második tételének is nevezik, és ez esetben az előző állítás az első számú.

Kapcsolódó szócikkek

• Karl Weierstrass

További információk

• A PlanetMath Extreme value theorem szócikke Archiválva 2006. március 10-i dátummal a Wayback Machine-ben