Adjungált (mátrixinvertálás)

Ez a szócikk a mátrixok inverzének kiszámításánál szereplő adjungált mennyiségről szól, vagyis a „klasszikus adjungáltról”. A komplex lineáris algebra adjungáltfogalma, vagyis a konjugált transzponált az adjungált (komplex algebra) szócikkben található.

A matematikában, közelebbről a lineáris algebrában egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix előjeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját. Az adjungálás tehát a négyzetes mátrixokon értelmezett operáció, mely mátrixhoz mátrixot rendel. Legfontosabb alkalmazása, hogy segítségével tömör formában fejezhető ki egy invertálható mátrix inverze.

Definíció

Egy A kvadratikus (négyzetes, azaz n×n-es) mátrix adjungáltján a következő eljárással elkészített mátrixot értjük:

1. felírjuk az A mátrix aldeterminánsmátrixát vagy minormátrixát, vagyis azt az A^min mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik;
2. az A^min mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)^i+j értéket adjuk, ekkor nyerjük az előjeles aldeterminánsmátrixot, azaz a (A^min)^± mátrixot;
3. majd ezt a mátrixot transzponáljuk, azaz elemeit a főátlóra tükrözzük: ((A^min)^±)^T

Így kapjuk az

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$-val

jelölt adjungált mátrixot. Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel bizonyításában találhatjuk.

Példa

Legyen A a következő négyzetes mátrix:

$A:=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 2& -1& 1\\ -1& 0& -3\end{array}\right]$

Aldetermináns-mátrix

Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az A^min mátrix elemeit – a ${}_{◼}$ helyen álló elemet – tehát úgy kapjuk az A elemeiből, hogy az i-edik sort és j-edik oszlopot töröljük (ezek a ${}_{◻}$ helyek) és a maradék mátrix determinánsát számítjuk ki. Az aldetermináns mátrix elemei a következő determinánsok lesznek:

$A^{min}=\left[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{ccc}◼& ◻& ◻\\ ◻& -1& 1\\ ◻& 0& -3\\ \end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc}◻& ◼& ◻\\ 2& ◻& 1\\ -1& ◻& -3\\ \end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc}◻& ◻& ◼\\ 2& -1& ◻\\ -1& 0& ◻\\ \end{array}\right|\\ \\ \left|\begin{array}{ccc}◻& -2& 0\\ ◼& ◻& ◻\\ ◻& 0& -3\\ \end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc}1& ◻& 0\\ ◻& ◼& ◻\\ -1& ◻& -3\\ \end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc}1& -2& ◻\\ ◻& ◻& ◼\\ -1& 0& ◻\\ \end{array}\right|\\ \\ \left|\begin{array}{ccc}◻& -2& 0\\ ◻& -1& 1\\ ◼& ◻& ◻\\ \end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc}1& ◻& 0\\ 2& ◻& 1\\ ◻& ◼& ◻\\ \end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc}1& -2& ◻\\ 2& -1& ◻\\ ◻& ◻& ◼\\ \end{array}\right|\\ \end{array}\right]$

Tehát a 2×2-es determinánsok kiszámítása után:

$A^{min}=\left[\begin{array}{ccc}3& -5& -1\\ 6& -3& -2\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$

Előjeles aldetermináns-mátrix

A „sakktáblaszabály” alapján a következő formális mátrix mutatja, hogy hol kell megváltoztatni az előjelet (–) és hol nem (+)

$\left[\begin{array}{ccccc}+& -& +& \dots & \pm \\ -& +& -& & \mp \\ +& -& +& \dots & \pm \\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ \pm & \mp & \pm & \dots & +\end{array}\right]$

Tehát

$(A^{min}{)}^{\pm }=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& -1\\ -6& -3& 2\\ -2& -1& 3\end{array}\right]$

Transzponált

A transzponálás, a mátrix elemeinek a főátlóra történő tükrözése – az első sorból lesz az első oszlop, a második sorból a második oszlop, … Tetszőleges kvadratikus mátrixnál tehát ez az operáció:

$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}& \dots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}& & a_{n2}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}& \dots & a_{n3}\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& a_{3n}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$

Így az adjungált:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A=((A^{min}{)}^{\pm }{)}^T=\left[\begin{array}{ccc}3& -6& -2\\ 5& -3& -1\\ -1& 2& 3\end{array}\right]$

Inverz mátrix képlet

Egy invertálható A mátrix esetén az A⁻¹ inverz a következőképpen írható fel:

$A^{-1}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A}$

ahol a det A számmal való osztás az A invertálhatósága miatt elvégezhető, hiszen ekkor ez nem nulla. Bizonyítás. Elég belátni, hogy

A $\cdot$ adj(A) = det(A)$\cdot$$I$,

ahol $I$ az egységmátrix. Ha az előjeles aldetermináns-mátrix értékeit ±M_ji-vel jelöljük (a minormátrix megfelelő előjellel ellátott transzponáltja), akkor a mátrixszorzat szokásos táblázatos ábrázolásában a következő egyenlőséget kell igazolnunk:

$\begin{array}{cc}& \left[\begin{array}{ccccc}+M_{11}& -M_{21}& +M_{31}& \dots & \pm M_{n1}\\ -M_{12}& +M_{22}& -M_{32}& & \mp M_{n2}\\ +M_{13}& -M_{23}& +M_{33}& \dots & \pm M_{n3}\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ \pm M_{1n}& \mp M_{2n}& \pm M_{3n}& \dots & +M_{nn}\end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A& 0& 0& \dots & 0\\ 0& \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A& 0& & 0\\ 0& 0& \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A& \dots & 0\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A\end{array}\right]\end{array}$

Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az A i-edik (a_i1,a_i2,a_i3,…,a_in) sorát az adjungált i-edik ((-1)ⁱ⁺¹M_i1,(-1)ⁱ⁺²M_i2,(-1)ⁱ⁺³M_i3,…,(-1)ⁱ⁺ⁿM_in) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejtési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az A determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz. ■

Adjungált-képlet

A Cayley–Hamilton-tétel következményeként egy mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának. Ezekben a polinomokban a konstans tag mindig a mátrix determinánsa, így (invertálható esetben) az inverzmátrixszal történő beszorzás után, ebből a konstans tagból a det(A)$\cdot$A⁻¹ = adj(A) mátrixot kapjuk. A karakterisztikus egyenlet változójának helyére az A mátrixot helyettesítve és az inverzzel beszorozva tehát kifejezhető az adjungált. Sőt, ez az így nyert formula szinguláris mátrix esetén is fennáll. Ez a formula a 2×2-es esetben:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A=-A+\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A)\cdot I$,

a 3×3-as esetben pedig

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A=-A^2+\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A)\cdot A-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A)\cdot I$.

Tulajdonságok

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(I)=I$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(AB)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(B)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A^T)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A{)}^T$

$\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A))=\det (A{)}^{n-1}$

Források

• PlanetMath: adjugate Archiválva 2007. március 14-i dátummal a Wayback Machine-ben