Kifejtési tétel

A kifejtési tétel a mátrixok determinánsának kiszámítására használható matematikai tétel. Eszerint egy n × n-es mátrix determinánsának kiszámításához egy tetszőleges sor (vagy oszlop) minden elemét meg kell szoroznunk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, és összegeznünk kell a kapott számokat. (Ilyenkor beszélünk a determináns valamely i-edik sor (vagy oszlop) szerinti kifejtéséről.)

Előjeles aldetermináns

Vegyünk egy n × n-es mátrixot. Ha elhagyjuk az i-edik sorát és a j-edik oszlopát, akkor egy (n–1)×(n–1)-es mátrix keletkezik. Az említett sor és oszlop metszéspontjában található elemhez tartozó előjeles aldetermináns nem más, mint a keletkezett (n–1)×(n–1)-es részmátrix determinánsának $(-1{)}^{i+j}$-szerese. Az aldeterminánsokat a megfelelő előjellel és a megfelelő elemmel összeszorozva és összegezve kapjuk a mátrix determinánsát. A $(-1{)}^{i+j}$ kifejezés –1 vagy +1 értéke megadja, hogy az aldetermináns átfordul-e vagy sem az ellentettjére. Könnyű megjegyezni: a bal fölső sarokban lévő elem esetén mindig +1, és utána sakktáblaszerűen váltakozva következik a –1 és a +1. Például 6×6-os esetben:

$\left(\begin{array}{cccccc}+& -& +& -& +& -\\ -& +& -& +& -& +\\ +& -& +& -& +& -\\ -& +& -& +& -& +\\ +& -& +& -& +& -\\ -& +& -& +& -& +\\ \end{array}\right)$

Példa

Az

$A=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}& a_{45}& a_{46}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{55}& a_{56}\\ a_{61}& a_{62}& a_{63}& a_{64}& a_{65}& a_{66}\\ \end{array}\right)$

mátrix determinánsát szeretnénk a mátrix 4. sora szerint kifejteni. A megoldás

$\det A=-a_{41}\det A_{41}+a_{42}\det A_{42}-a_{43}\det A_{43}+a_{44}\det A_{44}-a_{45}\det A_{45}+a_{46}\det A_{46},$

mert mondjuk az a₄₅ elemhez tartozó aldetermináns meghatározásához elhagyjuk a 4. sort és az 5. oszlopot a mátrixból:

$\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}& a_{45}& a_{46}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{55}& a_{56}\\ a_{61}& a_{62}& a_{63}& a_{64}& a_{65}& a_{66}\\ \end{array}\Rightarrow \begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{36}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{56}\\ a_{61}& a_{62}& a_{63}& a_{64}& a_{66}\\ \end{array}.$

A kapott mátrixot jelöljük A₄₅-tel:

$A_{45}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{36}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{56}\\ a_{61}& a_{62}& a_{63}& a_{64}& a_{66}\\ \end{array}\right).$

Ezután kiszámítjuk az A₄₅ determinánsának az értékét:

$\det A_{45}=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{36}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{56}\\ a_{61}& a_{62}& a_{63}& a_{64}& a_{66}\\ \end{array}\right|.$

Hasonlóan számoljuk ki az A mátrix 4. sorának többi eleméhez tartozó aldeterminánst is. Az a₄₅ elemhez tartozó előjel – (mivel (–1)⁴⁺⁵=(–1)⁹=–1), így az aldeterminánst –1-gyel megszorozva kell hozzáadni az összeghez. A fenti táblázat 4. sorából is megkaphatjuk a többi aldeterminánshoz tartozó előjelet:

$\left(\begin{array}{cccccc}+& -& +& -& +& -\\ -& +& -& +& -& +\\ +& -& +& -& +& -\\ -& +& -& +& -& +\\ +& -& +& -& +& -\\ -& +& -& +& -& +\\ \end{array}\right),$

és így lesz az eredmény még egyszer leírva

$\det A=-a_{41}\det A_{41}+a_{42}\det A_{42}-a_{43}\det A_{43}+a_{44}\det A_{44}-a_{45}\det A_{45}+a_{46}\det A_{46}.$

Több sor vagy oszlop szerint

A kifejtés egyszerre több sor és oszlop szerint is végezhető. Példa: egy 5 x 5-ös mátrix determinánsa a második és az ötödik sor szerint kifejtve:

$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}& a_{45}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{55}\\ \end{array}\right|=$

$=\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{51}& a_{52}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{33}& a_{34}& a_{35}\\ a_{43}& a_{44}& a_{45}\\ \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{51}& a_{53}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{12}& a_{14}& a_{15}\\ a_{32}& a_{34}& a_{35}\\ a_{42}& a_{44}& a_{45}\\ \end{array}\right|+$

$+\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{24}\\ a_{51}& a_{54}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{12}& a_{13}& a_{15}\\ a_{32}& a_{33}& a_{35}\\ a_{42}& a_{43}& a_{45}\\ \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{25}\\ a_{51}& a_{55}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{42}& a_{43}& a_{44}\\ \end{array}\right|+$

$+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{52}& a_{53}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{14}& a_{15}\\ a_{31}& a_{34}& a_{35}\\ a_{41}& a_{44}& a_{45}\\ \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{24}\\ a_{52}& a_{54}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{13}& a_{15}\\ a_{31}& a_{33}& a_{35}\\ a_{41}& a_{43}& a_{45}\\ \end{array}\right|+$

$+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{25}\\ a_{52}& a_{55}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{13}& a_{14}\\ a_{31}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{43}& a_{44}\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{23}& a_{24}\\ a_{53}& a_{54}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{15}\\ a_{31}& a_{32}& a_{35}\\ a_{41}& a_{42}& a_{45}\\ \end{array}\right|-$

$-\left|\begin{array}{cc}{a}_{23}& a_{25}\\ a_{53}& a_{55}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{14}\\ a_{31}& a_{32}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{44}\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{24}& a_{25}\\ a_{54}& a_{55}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}\\ \end{array}\right|$

Az első mátrix előjele például azért pozitív, mert sor- és oszlopindexeinek összege 10, ami páros. Itt az együttható mátrixban szereplő összes index számít.

Ferde kifejtés

Ferde kifejtésnek nevezzük az $a_{ij}{A}_{kl},i\ne k,j\ne l$ alakú szorzatokat. A ferde kifejtés tétele szerint ezek a szorzatok nem számítanak bele a mátrix determinánsába.

Megjegyzés

Programozói szempontból a kifejtési tétel alkalmazásánál sokkal célravezetőbb a Gauss-eliminációval való lépcsős alakra hozás (alsó vagy felső háromszögmátrix elég), majd a főátlóban lévő elemek összeszorzása. Ugyanis a kifejtés során annyira felhalmozódnak a számítási hibák, hogy elvész a numerikus információ.

Források

• Pelikán József: Algebra
• Scharnitzky Tibor: Mátrixszámítás (Műszaki, 1986) ISBN 963 1067 64 5
• Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek I. (ELTE–Typotex, 1993) ISBN 963 7546 31 6