Dini-féle konvergenciakritérium

A Fourier-sorok konvergenciájára számos elégséges feltétel ismeretes. Ezek közül az egyik legegyszerűbb a következő: DINI-FÉLE KRITÉRIUM. Legyen ${\phi }_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)$. Ha valamely $x$-re a

$\frac{{\phi }_x(t)}{t}$

függvény a $t=0$ pont környezetében $t$-nek integrálható függvénye (Lebesgue-értelemben), akkor

$s_n(x)\to f(x),(n\to \mathrm{\infty })$

Bizonyítás. A Dirichlet-féle képletekből

$s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\phi }_x(t)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{1}{2}t}dt=$ $$\begin{gathered} =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{{\phi }_x(t)}{t} \\ \frac{t}{2\sin \frac{1}{2}t}\cdot \sin (n+\frac{1}{2})tdt \end{gathered}$$

A $\frac{t}{2\sin \frac{1}{2}t}$ függvény a $[0,\pi ]$ zárt intervallumon folytonos, így korlátos, az $\frac{{\phi }_x(t)}{t}$ integrálható függvénnyel való szorzata is integrálható. A Riemann–Lebesgue lemma szerint tehát $n\to \mathrm{\infty }$ esetén, az integrál $0$-hoz tart. A Dini-féle kritérium speciális eseteként adódik a Lipschitz-féle konvergenciakritérium.

Ajánlott irodalom

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).