Alakváltozás

A szilárd testek külső mechanikai terhelések (erő, nyomaték, nyomás) hatására alakváltozást szenvednek. Az alakváltozás a test terhelés alatti és terheletlen állapotában mérhető méreteinek különbsége.

Fajlagos nyúlás

A hosszú, állandó keresztmetszetű rúd húzóerő hatására megnyúlik. A deformáció mértékéül a fajlagos nyúlás használatos, mely alkalmas arra, hogy az alakváltozást más esetekkel össze lehessen hasonlítani:

$$\begin{gathered} \epsilon =\frac{ \\ L-L_0}{L_0}=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0} \end{gathered}$$

ahol

$L_0$ a rúd terheletlen hossza, m

$L$ a húzott rúd megnyúlt hossza, m

$\mathrm{\Delta }L$ a rúd megnyúlása, m

A dimenzió nélküli fajlagos nyúlás pozitív, ha a rúd hossza megnő terhelés alatt (húzás esetén) és negatív, ha a rúd hossza csökken (nyomás esetén), mivel a hosszak mindig pozitív értékek, így a fajlagos nyúlás előjele az alakváltozás előjelével változik. A fajlagos nyúlás dimenziónélküli mennyiség, a gyakorlatban 100-szoros értékét százalékban szokták megadni. A közönséges szerkezeti anyagokra (fémekre, fára, betonra, kőre stb.) a fajlagos nyúlás igen kis érték szokott lenni, ezért a gyakorlatban előfordul a mikrométer/méter vagy μm/m megadás is.

Fajlagos nyúlás egy pontban

A rúd egy pontjában a fajlagos nyúlás a fenti hányados határértéke, ha az $L$ hossz tart nullához:

$\epsilon =\underset{L\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}$

Más szóval a fajlagos nyúlás egy pontban a pont közvetlen szomszédságában lévő távolságok változása.

A lineáris fajlagos nyúlás általános esete

Egy tetszőleges alakú testre, melyen bármilyen alakváltozás lép fel, a fajlagos nyúlás értéke a mérés térbeli irányától függ. Vizsgáljuk meg egy A pont lineáris alakváltozását, mely a koordináta-rendszer origója is egyúttal, az x tengelyen helyezzünk el egy második B pontot, mely az alakváltozás következtében a B' pontba mozdul el, akkor a lineáris fajlagos nyúlás:

${\epsilon }_x=\underset{B\to A}{\lim }\frac{|A{B}^{\prime }|-|AB|}{|AB|}$

Hasonló számítást végezhetünk az y illetőleg a z tengely irányában is, ekkor az ε_y és az ε_z értékeket kapjuk. Egy tetszőleges $\overrightarrow{u}$ elmozdulásmezőre (elmozdulásmező = elmozdulásvektorok a test minden pontjára) a lineáris fajlagos nyúlások így írhatók:

${\epsilon }_x=\frac{\partial u_x}{\partial x}$ ; ${\epsilon }_y=\frac{\partial u_y}{\partial y}$ ; ${\epsilon }_z=\frac{\partial u_z}{\partial z}$

ahol

${\epsilon }_i$ az i tengely irányába vett fajlagos nyúlás,

$\frac{\partial u_i}{\partial i}$ pedig az $\overrightarrow{u}$ i irányba vett parciális deriváltja egy tetszőleges pontban.

Nyírási fajlagos nyúlás

A fentiekhez hasonlóan határozható meg egy ponton átmenő két egyenes szögének fajlagos változása, melyet nyírási fajlagos nyúlásnak neveznek. A γ nyírási fajlagos nyúlás két egyenes által bezárt szög változásának és a terheletlen állapotban mért szög viszonyának határértéke, ha az egyenes szakaszok hossza tart nullához. Egy adott $\overrightarrow{u}$ elmozdulásmezőhöz az előzőekhez hasonlóan a nyírási fajlagos nyúlások a következőképpen írhatók:

${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}$ ; ${\gamma }_{yz}=\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y}$ ; ${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}$

Fajlagos térfogatváltozás

Bár az ε lineáris fajlagos nyúlás és a γ nyírási fajlagos nyúlás teljes mértékben leírja egy test alakváltozását, lehetséges más jellemző fajlagos alakváltozást is definiálni. Ilyen lehet például a fajlagos térfogatváltozás, mely egy test térfogatában végbement változás mértékét adja meg. A fajlagos térfogatváltozás definíciója egy adott pontban:

$\vartheta =\underset{V_0\to 0}{\lim }\frac{V-V_0}{V_0}$

ahol

$\vartheta$ a fajlagos térfogatváltozás,

$V_0$ a kezdeti térfogat,

$V$ a terhelés alatt felvett térfogat.

Descartes-koordináta-rendszerben mindig igaz az alábbi összefüggés:

$\vartheta ={\epsilon }_x+{\epsilon }_y+{\epsilon }_z$

ahol

$\vartheta$ a fajlagos térfogatváltozás

${\epsilon }_x,{\epsilon }_y,{\epsilon }_z$ a fajlagos nyúlás az x, y és z tengely mentén.

Az alakváltozási tenzor

A lineáris és nyírási fajlagos nyúlás fenti jelölései segítségével felírható az alakváltozási tenzor:

${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}\left({\mathrm{\nabla }}_i{u}_j+{\mathrm{\nabla }}_j{u}_i\right)$

Vektoros jelölést használva:

$\epsilon =\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\overrightarrow{u}{)}^T)$

Behelyettesítve a hagyományos jelölést a tenzoros jelölésbe írható Descartes-koordináta-rendszerre:

${\epsilon }_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_x& \frac{{\gamma }_{xy}}{2}& \frac{{\gamma }_{xz}}{2}\\ \frac{{\gamma }_{yx}}{2}& {\epsilon }_y& \frac{{\gamma }_{yz}}{2}\\ \frac{{\gamma }_{zx}}{2}& \frac{{\gamma }_{zy}}{2}& {\epsilon }_z\end{array}\right]$

Ezzel a fajlagos térfogatváltozás egyenlő:

$\vartheta ={\epsilon }_{ij}{g}^{ij}$

ahol g^ij egy kontravariáns metrikus tenzor (felhasználva a tenzor jelölést: $\vartheta =tr(\epsilon )$)

Főnyúlások

A fajlagos nyúlások értéke nemcsak a test deformációjától, hanem a koordináta-rendszer megválasztásától függ. Általános esetben az alakváltozási tenzor minden eleme valós, tehát egy tetszőlegesen felvett „kis kocka” minden lapján mérhető megnyúlás és szögelfordulás is. Minden alakváltozáshoz azonban felvehető három olyan koordináta-rendszer, melyekben csak hosszirányú nyúlás lép fel, szögelfordulás nincs. Ezek a három egymásra merőleges irány a főirány, az ezekben az irányokban mérhető megnyúlás neve főnyúlás. Az alakváltozási tenzor alakja ilyen lesz:

$$\begin{gathered} {\epsilon }_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_1& 0& \\ 0\\ \\ 0& {\epsilon }_2& \\ 0\\ \\ 0& \\ 0& {\epsilon }_3\end{array}\right] \end{gathered}$$

Az $$\begin{gathered} {\epsilon }_1, \\ {\epsilon }_2, \\ {\epsilon }_3 \end{gathered}$$ a három főnyúlás

Főnyúlások síkbeli esetre

Mivel az alakváltozási tenzor valós szimmetrikus mátrix, SVD dekompozícióval ortogonális sajátvektorokra lehet bontani. A sajátvektorok irányaiban nincs nyírás, csak húzás vagy nyomás. Kétdimenziós tenzorok esetén:

${\epsilon }_{ij}=\left[\begin{array}{cc}{\epsilon }_x& \frac{{\gamma }_{xy}}{2}\\ \frac{{\gamma }_{xy}}{2}& {\epsilon }_y\\ \end{array}\right]$

A ${\epsilon }_1$ és ${\epsilon }_2$ főnyúlás értéke:

${\epsilon }_1=\frac{{\epsilon }_x+{\epsilon }_y}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\epsilon }_x-{\epsilon }_y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\right)}^2}$

${\epsilon }_2=\frac{{\epsilon }_x+{\epsilon }_y}{2}-\sqrt{{\left(\frac{{\epsilon }_x-{\epsilon }_y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\right)}^2}$

Nagy alakváltozások

Az eddigiekben feltételeztük, hogy a test méreteihez képest kis alakváltozást szenved. Figyelembe kell venni, hogy az alakváltozás növekedésével a lineáris fajlagos nyúlás hibája nő. Nagy deformációk esetén az alakváltozási tenzor így írható:

${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(g_{ij}-g_{ij}^{(0)})$

ahol g_ij a test metrikus tenzora a deformáció után, g_ij⁽⁰⁾ pedig a nyugalomban lévő test metrikus tenzora.

Mérnöki nyúlás és valódi nyúlás

A lineáris fajlagos nyúlás definíciójában (ezt hívják mérnöki fajlagos nyúlásnak) a megnyúlásokat nem lehet összegezni. Tegyük fel, hogy a test kétszer szenved deformációt, először $\delta {\ell }_1$ majd $\delta {\ell }_2$ (kumulatív deformáció). A végső fajlagos nyúlás

$\epsilon =\frac{\delta {\ell }_1+\delta {\ell }_2}{{\ell }_0}$

ez kismértékben eltér a nyúlások összegétől:

${\epsilon }_1=\frac{\delta {\ell }_1}{{\ell }_0}$

és

${\epsilon }_2=\frac{\delta {\ell }_2}{{\ell }_0+\delta {\ell }_1}$

Mivel $\delta {\ell }_1\ll {\ell }_0$, ez így írható át:

${\epsilon }_2\simeq \frac{\delta {\ell }_2}{{\ell }_0}$

és így

$\epsilon \simeq {ϵ}_1+{ϵ}_2$

A valódi fajlagos nyúlás (természetes nyúlás, logaritmikus nyúlás vagy Hencky-nyúlás) viszont összegezhető. Definíciója:

$e^{{\epsilon }_T}=\frac{{\ell }_f}{{\ell }_0}$

és így

${\epsilon }_T=\ln \left(\frac{{\ell }_f}{{\ell }_0}\right)$

ahol

${\ell }_0$ az anyag eredeti hossza,

${\ell }_f$ az anyag végső hossza.

A mérnöki fajlagos nyúlás a valódi fajlagos nyúlás sorbafejtésével nyerhető.

Kapcsolódó szócikkek

• Mechanikai feszültség
• Nyúlásmérő bélyeg
• Szakítószilárdság
• Hooke-törvény
• Poisson-tényező

Források

• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13