Hooke-törvény

Hooke törvénye pontosan leírja a közönséges csavarrugó mozgását kis összenyomódás esetén

A Hooke-törvény közelítő törvény, mely kimondja, hogy egy rugalmas test alakváltozása arányos azzal az erővel, mely az alakváltozást okozza. Azokat az anyagokat, melyek a Hooke-törvényt követik, lineáris-rugalmas, vagy Hooke-anyagoknak nevezik. A törvényt a 17. században élt fizikusról, Robert Hooke-ról nevezték el. Azokban a rendszerekben, melyek a Hooke-törvényt követik, a megnyúlás egyenesen arányos a terheléssel:

$\overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{x}$

ahol

x a megnyúlás [általában méter (m)],

F a rugóerő [általában newton (N)], és

k a rugó merevsége. A rugómerevség dimenziója erő/hossz, mértékegysége a newton/méter (N/m).

F_rugó= -D·Δx Ha ez az egyenlőség fennáll, azt mondjuk, hogy a rugó lineáris rugó. Az összenyomódás-erő diagramban az ilyen rugó görbéje egyenes lesz.

Rugalmas anyagok

Sok anyag követi a Hooke-törvényt. Ha egy ilyen anyagból készült kis rudat vizsgálunk, azt kisméretű lineáris rugónak foghatjuk fel. Megnyúlása, (fajlagos nyúlása) egyenesen arányos a benne ébredő σ mechanikai feszültséggel, az arányossági tényező pedig az E rugalmassági modulus reciproka:

$\sigma =E\cdot \epsilon$

vagy

$\mathrm{\Delta }L=\frac{1}{E}\times F\times \frac{L}{A}=\frac{1}{E}\times L\times \sigma .$

A Hooke-törvény csak bizonyos anyagokra és bizonyos terhelési feltételek mellett érvényes. Az acél lineáris-rugalmas anyagként viselkedik a legtöbb mérnöki alkalmazás szempontjából: a Hooke-törvényt követi a rugalmassági tartományban (vagyis a folyáshatárnál kisebb feszültségeken). Néhány más anyagnál, például alumínium esetében a Hooke-törvény a rugalmas tartomány egy részében teljesül. Ezeknél az anyagoknál rugalmassági határt állapítanak meg, mely alatt a lineáris közelítéstől való eltérés elhanyagolható. A gumit a Hooke-törvényt nem követő anyagok közé sorolják, mivel rugalmassági modulusa a terheléstől és a hőmérséklettől is függ, valamint állandó terhelés alatt is változik a megnyúlása (kúszás).

Húzott-nyomott rugó

Kis széntartalmú szénacél szakítódiagramja
1. Szakítószilárdság, R_m
2. Folyáshatár, R_e
3. Szakadás
4. Felkeményedés
5. Kontrakció (keresztmetszet összehúzódás)

A Hooke-törvény leggyakrabban előforduló alakja valószínűleg a rugóegyenlet, mely a rugóban ébredő erő és a rugó összenyomódása közti összefüggést fejezi ki:

$F=-kx$

ahol k a rugómerevség, dimenziója erő/hosszúság [N/m] A negatív előjel arra utal, hogy a rugóban ébredő erő és az elmozdulás ellenkező irányúak. Ezt az erőt visszatérítő erőnek hívják, mivel igyekszik a rugót egyensúlyi helyzetébe visszatéríteni. A rugóban felhalmozott potenciális energia:

$U=\frac{1}{2}k{x}^2$

A rugóban tárolt energia fenti egyenletét a rugó összenyomásakor végzett munkából lehet kiszámítani, ami az erőnek az elmozdulás szerinti integrálja. (A rugó potenciális energiája mindig pozitív.) A potenciális energia az U-x síkon olyan parabolaként ábrázolható, melynek csúcspontja az origóban van, tengelye pedig az Y tengely. A rugó kihúzásakor a potenciális energia nő, de ugyanígy a rugó húzásakor is nő az energia. Bármilyen erővel hatunk a rugóra, a hozzá tartozó potenciális energia nagyobb, mint az x=0 ponthoz tartozó egyensúlyi állapoté, ezért a rugó törekszik visszatérni a legkisebb potenciális energiájú pontba, ugyanúgy, ahogy egy hullámos felületen a golyó a legmélyebb gödörbe törekszik. Ha egy tömeget erősítünk a rugó végére és a rendszert kitérítjük egyensúlyi helyzetéből, lengésbe jön, és sajátlengései szögsebessége:

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ radián/másodperc (szögsebesség)

vagy

$\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$ hertz (1/s)

mivel

$\omega =\nu 2\pi$

A Hooke-törvény tenzoros alakja

Térbeli feszültségi állapot esetén egy (c_ijkl) negyedrendű, 81 elemet tartalmazó tenzort kell definiálnunk az (ε_kl) alakváltozási tenzor (vagy Green tenzor) és a (σ_ij) feszültségtenzor közötti összefüggés leírására.

${\sigma }_{ij}=\sum _{kl}{c}_{ijkl}\cdot {\epsilon }_{kl}$

Tekintettel a feszültségtenzor, az alakváltozási tenzor és a merevségi tenzor szimmetriájára, csak 21 együttható független. Mivel a feszültség nyomás dimenziójú, az alakváltozás pedig dimenzió nélküli elemekből áll, a c_ijkl elemek szintén nyomás dimenziójúak.

Izotróp anyagok

Izotróp anyagoknak nevezik azokat az anyagokat, melyek tulajdonságai függetlenek a térbeli irányoktól. Ennélfogva az izotróp anyagokra vonatkozó fizikai egyenleteknek függetleneknek kell lenniük a választott koordináta-rendszertől. Az alakváltozási tenzor szimmetrikus tenzor. Mivel a tenzor nyoma független a koordináta-rendszertől, ezért a szimmetrikus tenzor koordináta-független teljes dekompozíciója egy állandó tenzor és egy nyom nélküli szimmetrikus tenzor összege. Így:

${\epsilon }_{ij}=\left(\frac{1}{3}{\epsilon }_{kk}{\delta }_{ij}\right)+({\epsilon }_{ij}-\frac{1}{3}{\epsilon }_{kk}{\delta }_{ij})$

ahol ${\delta }_{ij}$ a Kronecker-delta-függvény. Az első kifejezés a jobb oldalon az állandó tenzor, melyet nyomásnak neveznek, a másik kifejezés pedig a nyom nélküli szimmetrikus tenzor, más néven a nyírási tenzor. A Hooke-törvény legáltalánosabb alakja izotróp anyagokra ezért e két tenzor lineáris kombinációjaként írható:

${\sigma }_{ij}=3K\left(\frac{1}{3}{\epsilon }_{kk}{\delta }_{ij}\right)+2G({\epsilon }_{ij}-\frac{1}{3}{\epsilon }_{kk}{\delta }_{ij})$

ahol K az rugalmassági modulus és G a nyírási rugalmassági modulus. Felhasználva a rugalmassági modulusok közötti összefüggéseket, az egyenletek számos különböző módon írhatók fel. Például az alakváltozás kifejezhető a feszültségtenzor elemeinek segítségével:

${\epsilon }_{11}=\frac{1}{E}({\sigma }_{11}-\nu ({\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}))$

${\epsilon }_{22}=\frac{1}{E}({\sigma }_{22}-\nu ({\sigma }_{11}+{\sigma }_{33}))$

${\epsilon }_{33}=\frac{1}{E}({\sigma }_{33}-\nu ({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}))$

${\epsilon }_{12}=\frac{{\sigma }_{12}}{2G}$

${\epsilon }_{13}=\frac{{\sigma }_{13}}{2G}$

${\epsilon }_{23}=\frac{{\sigma }_{23}}{2G}$

ahol E a rugalmassági modulus (vagy Young-modulus) és a $\nu$ a Poisson-tényező.

Átszámítási képletek (nyitható táblázat)
Homogén izotróp tulajdonságú anyagok tulajdonságai kiszámíthatóak, ha legalább két másik tulajdonságuk ismert
	$(\lambda ,G)$	$(E,G)$	$(K,\lambda )$	$(K,G)$	$(\lambda ,\nu )$	$(G,\nu )$	$(E,\nu )$	$(K,\nu )$	$(K,E)$	$(M,G)$
$K=$	$\lambda +\frac{2G}{3}$	$\frac{EG}{3(3G-E)}$			$\frac{\lambda (1+\nu )}{3\nu }$	$\frac{2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}$	$\frac{E}{3(1-2\nu )}$			$M-\frac{4G}{3}$
$E=$	$\frac{G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}$		$\frac{9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }$	$\frac{9KG}{3K+G}$	$\frac{\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }$	$2G(1+\nu )$		$3K(1-2\nu )$		$\frac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda =$		$\frac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\frac{2G}{3}$		$\frac{2G\nu }{1-2\nu }$	$\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$	$\frac{3K\nu }{1+\nu }$	$\frac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M-2G$
$G=$			$\frac{3(K-\lambda )}{2}$		$\frac{\lambda (1-2\nu )}{2\nu }$		$\frac{E}{2(1+\nu )}$	$\frac{3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}$	$\frac{3KE}{9K-E}$
$\nu =$	$\frac{\lambda }{2(\lambda +G)}$	$\frac{E}{2G}-1$	$\frac{\lambda }{3K-\lambda }$	$\frac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\frac{3K-E}{6K}$	$\frac{M-2G}{2M-2G}$
$M=$	$\lambda +2G$	$\frac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda$	$K+\frac{4G}{3}$	$\frac{\lambda (1-\nu )}{\nu }$	$\frac{2G(1-\nu )}{1-2\nu }$	$\frac{E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}$	$\frac{3K(1-\nu )}{1+\nu }$	$\frac{3K(3K+E)}{9K-E}$

Zéró hosszúságú rugók

A zéró hosszúságú rugó az állandó erejű rugó helytelen megnevezése. A Hooke-törvény bizonyos speciális fizikai feltételek esetén nem alkalmazható. A zéró hosszúságú rugót 1932-ben Lucien LaCoste találta fel. A zéró hosszúságú rugó fizikai hossza megegyezik kinyújtott hosszával, rugóereje arányos teljes hosszúságával, nem csak a kinyújtás hosszával, emiatt rugóereje a rugó teljes elasztikus tartományán belül állandó (vagyis nem követi a Hooke-törvényt). Elméletileg egy végtelen tömegű inga, melynek visszatérítő erejét ilyen rugó (illetőleg csaknem bármilyen rugó) biztosítja, végtelen természetes periódusidejű lehet. A szeizmométerekbe épített hosszú periódusidejű ingák képesek távoli földrengések leglassabban haladó, legáthatolóbb hullámainak észlelésére. Zéró hosszúságú rugót alkalmaznak a nehézségi gyorsulás anomáliáinak mérésére szolgáló graviméterekben is. Egyes ajtókat szintén zéró hosszúságú rugó működtet a becsapódás elkerülése érdekében. A zéró hosszúságú rugók egyes autófelfüggesztések esetében simább működést eredményeznek.

Kapcsolódó szócikkek

• Rugó

Külső hivatkozások

• Zéró hosszúságú rugók szeizmométerekben
• Magyarított Flash animáció a Hook-törvényről Szerző: David M. Harrison