Kronecker-delta

A Kronecker-delta (másként Kronecker-szimbólum vagy diszkrét Dirac-delta) matematikai kétváltozós, általában egész számok függvénye, s amelynek értéke 1, ha a két szám egyenlő, minden más esetben 0. Így például ${\delta }_{12}=0$, de ${\delta }_{33}=1$. Jelölése δ_ij, és inkább jelölési rövidítésnek, mint függvénynek tekintik. A függvényt Leopold Kronecker (1823–1891) német matematikusról nevezték el.

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{ha }i=j\\ 0,& \text{ha }i\ne j\end{array}$

Más jelölések

Az Iverson-féle zárójeles jelölés használatával:

${\delta }_{ij}=[i=j]$

Gyakran a ${\delta }_i$ jelölést használják:

${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}1,& \text{ha }i=0\\ 0,& \text{ha }i\ne 0\end{array}$

A lineáris algebrában tenzornak tekintik és így írják: ${\delta }_j^i$.

Digitális jelfeldolgozás

Ugyanez a gondolat a digitális jelfeldolgozásban is megjelenik, és egy egész számokon értelmezett függvényként reprezentálják:

$\delta (n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$

Ezt a függvényt impulzusfüggvénynek vagy egységimpulzusnak nevezik. Ha a jelfeldolgozás egy elemét éri, akkor az outputot az adott elem impulzusválaszának hívják.

Tulajdonságok

• $j\in \mathbb{\mathbb{Z}}$:

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }_{ij}{a}_i=a_j.$

• Ha az egészeket mértéktérnek tekintjük, és ellátjuk a számlálómértékkel, ekkor ez a tulajdonság megegyezik a Dirac-deltát definiáló tulajdonsággal:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

A Dirac-deltát a Kronecker-delta analógiájára nevezték el. A jelfeldolgozásban aszerint tesznek köztük különbséget, hogy az idő folytonos-e, vagy diszkrét. Megállapodás szerint $\delta (t)$ folytonos időt jelöl (Dirac), és az olyan argumentumok, mint i, j, k, l, m, és n a diszkrét idő számára vannak fenntartva (Kronecker). Egy másik elterjedt gyakorlat szerint a diszkrét sorozatokat szögletes zárójellel jelölik, így:  $\delta [n]$. A Kronecker-delta a matematika több területén is felbukkan.

Lineáris algebra

A lineáris algebrában az identitásmátrix felírható ${\delta }_{ij}$ alakjában. Ha a Kronecker-deltát tenzornak tekintjük, akkor így írható fel: ${\delta }_j^i$ ahol i kovariáns, és j kontravariáns index. Ez az (1,1) tenzor reprezentálja:

• az identitást, mint lineáris leképezést
• a nyomot
• a $V^{*}\otimes V\to K$ skaláris szorzatot
• a $K\to V^{*}\otimes V$ leképezést, ami a skaláris szorzatot a külső szorzatok összegeként reprezentálja.

A Kronecker-delta kiterjesztései

Több dimenzióban hasonlóan definiálhatunk egy többváltozós függvényt:

${\delta }_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_n}=\prod _{k=1}^n{\delta }_{i_k{j}_k}.$

Ez a függvény akkor és csak akkor veszi fel az 1 értéket, ha a felső indexek megegyeznek az alsókkal, különben nulla.

Reprezentáció integrálokkal

A komplex függvénytanból ismert reziduumok felhasználásával a Kronecker-delta minden $n$-re reprezentálható ezzel az integrállal:

${\delta }_{x,n}=\frac{1}{2\pi i}\oint z^{x-n-1}dz,$

ahol az integrálási út pozitív forgásirányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) megkerüli a nullát. Ez egy elforgatással a következő formában is írható:

${\delta }_{x,n}=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{i(x-n)\varphi }d\varphi ,$

Egyéb reprezentációi

A Kronecker-delta felírható két diszkrét Heaviside-függvény különbségeként az alábbi módon:

$\delta (n)=ϵ(n)-ϵ(n-1)$