Jordan-függvény

A számelméletben egy n $J_k(n)$ Jordan-függvénye rögzített k pozitív egész esetén azoknak a k-asoknak a száma, amelyekben minden szám pozitív egész, és legfeljebb n, továbbá a benne levő számok n-nel együtt relatív prím k + 1-est alkotnak. Ez az Euler-függvény általánosítása, ami J₁. A függvényt Camille Jordan után nevezték el.

Tulajdonságok

A Jordan-függvény multiplikatív, és értéke

$J_k(n)=n^k\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p^k}).$

$\sum _{d|n}{J}_k(d)=n^k.$,

ami a Dirichlet-konvolúcióval

$J_k(n)\star 1=n^k$

és Möbius-inverzióval

$J_k(n)=\mu (n)\star n^k$.

Mivel μ Dirichlet-generátorfüggvénye 1/ζ(s) és n^k Dirichlet-generátorfüggvénye ζ(s-k), azért a J_k sora

$\sum _{n\ge 1}\frac{J_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s-k)}{\zeta (s)}$.

A J_k(n) átlagrendje

$\frac{n^k}{\zeta (k+1)}$.

A Dedekind-féle pszi-függvény kifejezhető Jordan-függvénnyel:

$\psi (n)=\frac{J_2(n)}{J_1(n)}$,

és a definícióra való tekintettel, felismerve, hogy minden tényező a prímek feletti szorzatban a p^-k körosztási polinomja igazolható, hogy $\frac{J_k(n)}{J_1(n)}$ vagy $\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}$ egész értékű multiplikatív függvény. $\sum _{\delta \mid n}{\delta }^s{J}_r(\delta )J_s\left(\frac{n}{\delta }\right)=J_{r+s}(n)$.      

Mátrixcsoportok rendje

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok általános lineáris csoportjának rendje

$|\mathrm{GL}(m,{\mathbf{Z}}_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^m{J}_k(n).$

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok speciális lineáris csoportjának rendje

$|\mathrm{SL}(m,{\mathbf{Z}}_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^m{J}_k(n).$

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok szimplektikus csoportjának rendje

$|\mathrm{Sp}(2m,{\mathbf{Z}}_n)|=n^{m^2}\prod _{k=1}^m{J}_{2k}(n).$

Az első két képletet még Jordan fedezte fel.

Példák

Explicit listák az OEIS-ben J₂  A007434, J₃  A059376, J₄  A059377, J₅  A059378, J₆-tól J₁₀-ig  A069091 egészen  A069095-ig. Az arányokkal definiált multiplikatív függvények J₂(n)/J₁(n)  A001615, J₃(n)/J₁(n)  A160889, J₄(n)/J₁(n)  A160891, J₅(n)/J₁(n)  A160893, J₆(n)/J₁(n)  A160895, J₇(n)/J₁(n)  A160897, J₈(n)/J₁(n)  A160908, J₉(n)/J₁(n)  A160953, J₁₀(n)/J₁(n)  A160957, J₁₁(n)/J₁(n)  A160960. A J_2k(n)/J_k(n) arányokra példák: J₄(n)/J₂(n)  A065958, J₆(n)/J₃(n)  A065959, és J₈(n)/J₄(n)  A065960.

Források

• L. E. Dickson. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Chelsea Publishing, 147. o. [1919] (1971). ISBN 0-8284-0086-5 
• M. Ram Murty. Problems in Analytic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 11. o. (2001). ISBN 0-387-95143-1 
• Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic, 32–36. o. (2004). ISBN 1-4020-2546-7 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Jordan's totient function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.