Körosztási polinom

A körosztási polinomok a primitív egységgyökök minimálpolinomjai. Jellegzetességük, hogy minden gyökük primitív egységgyök, éspedig minden gyökük ugyanolyan fokú primitív egységgyök. Fontos szerephez jutnak a geometriai szerkesztések elméletében és a Galois-elméletben. Az n-edik körosztási polinom

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod _{i=1}^{\phi (n)}(x-{\xi }_i)$

ahol ξ₁,…,ξ_φ(n) az n-edik primitív egységgyökök, tehát olyan n-edik egységgyökök, amelyek nem kisebb fokú egységgyökök és φ(n) az Euler-függvény. Az első néhány példa:

${\mathrm{\Phi }}_1(x)=x-1$

${\mathrm{\Phi }}_2(x)=x+1$

${\mathrm{\Phi }}_3(x)=x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_4(x)=x^2+1$

${\mathrm{\Phi }}_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_6(x)=x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_8(x)=x^4+1$

${\mathrm{\Phi }}_9(x)=x^6+x^3+1$

${\mathrm{\Phi }}_{10}(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_{11}(x)=x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_{12}(x)=x^4-x^2+1$

${\mathrm{\Phi }}_{27}(x)=x^{18}+x^9+1$

Az n-edik körosztási polinom egész együtthatós, φ(n) fokú, $\mathbb{\mathbb{Q}}$ felett irreducibilis polinom. Továbbá

$x^n-1=\prod _{d|n}{\mathrm{\Phi }}_d(x)$

Az első néhány körosztási polinomot tekintve úgy tűnhet, hogy ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$ együtthatói mindig az {1, −1, 0} halmazból kerülnek ki. Ez azonban nem igaz, mert például ${\mathrm{\Phi }}_{105}(x)$-ben a hetedfokú tag együtthatója −2; ez a legalacsonyabb fokú ellenpélda. A ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$ körosztási polinom $\mathbb{\mathbb{Q}}$ feletti felbontási teste a $\mathbb{\mathbb{Q}}({\zeta }_n)$ körosztási test.

Források

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Laczkovich Miklós: A körosztási polinomokról, Új matematikai mozaik, Typotex, Budapest, 2002, 243-250.
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK