Egységgyök

A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy

$z^n=1,$

ahol n = 1,2,3,… egy pozitív egész szám. Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha a rendje n.

Komplex egységgyökök

A komplex számok $\mathbb{ℂ}$ testében az n-edik egységgyökök pontosan az

$\exp \left(\frac{2\pi \mathrm{i}k}{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1$

alakú számok. Legyen ${\epsilon }_n=\exp \left(\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}\right)$. Ekkor az n-edik egységgyökök alakja:

$1,{\epsilon }_n,{\epsilon }_n^2,\dots ,{\epsilon }_n^{n-1}$.

Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet. $\omega$ n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem az. Az egyik primitív egységgyök

${\epsilon }_n=\exp \left(\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}\right)$.

A további primitív egységgyökök ${\epsilon }_n$ n-hez relatív prímkitevős hatványai. Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké $\varphi (n)$. A körosztási testek $\mathbb{\mathbb{Q}}$ bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.

Az egységgyökök összege

Ha $\epsilon$ n-edik egységgyök, akkor: $$\begin{gathered} 1+\epsilon +{\epsilon }^2+\dots +{\epsilon }^{n-1}=\{\begin{array}{ll}1,& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ n=1\\ 0,& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ n=1.\end{array} \end{gathered}$$ Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.

Mértani helyük a komplex számsíkon

A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1. Így a ${\epsilon }_n^k=x_k+\mathrm{i}{y}_k$ egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis $k=0,1,\dots ,n-1$-re

$x_k=\cos (2\pi k/n)=\cos (360^{\circ }\cdot k/n)$    és   $y_k=\sin (2\pi k/n)=\sin (360^{\circ }\cdot k/n)$.

Példák

A második egységgyökök: 1 és −1. A harmadik egységgyökök: ${\epsilon }_1=-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{3},{\epsilon }_2=-\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{3},{\epsilon }_3=1$; A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb: : ${\epsilon }_1=\mathrm{i},{\epsilon }_2=-1,{\epsilon }_3=-\mathrm{i},{\epsilon }_4=1$,

Az ötödik egységgyökök

A $0=1+\epsilon +{\epsilon }^2+{\epsilon }^3+{\epsilon }^4$ egyenlőség alapján

$0=\frac{1}{{\epsilon }^2}+\frac{1}{\epsilon }+1+\epsilon +{\epsilon }^2={(\epsilon +\frac{1}{\epsilon })}^2+(\epsilon +\frac{1}{\epsilon })-1=w^2+w-1$

ahol $w=\epsilon +\frac{1}{\epsilon }=\epsilon +{\epsilon }^4=2\cos (72^{\circ })$. Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva $w=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{5}{4}}$ adódik. Mivel a $72^{\circ }$ szög az 1. negyedben fekszik, azért $w$ pozitív, és így $\cos (72^{\circ })=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$. A valós rész ez alapján nyilvánvaló; a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.

Körosztási polinom

Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen: Gyűjtsük össze azokat az $x^k-1$ alakú polinomokat, ahol k < n osztója n-nek. Vegyük ezek $g_n$ legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy $f_n$ polinom, amit $g_n$-nel szorozva $x^n-1$-et kapunk. Ez az $f_n$ polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.

Egységgyökök absztrakt értelmezése

Legyen $R$ egységelemes kommutatív gyűrű, és $n\ge 1$ természetes szám. Egy $\zeta \in R$ egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciónak:

• ${\zeta }^n=1$;
• $\zeta$ a $X^n-1$ polinom gyöke.

Az n-edik $R$-beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.

Testekben

A $K$ testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója n-nek. Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az n-edik egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az n-edik primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.

Források

• Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
• Fried Ervin: Algebra I–II.