Gudermann-függvény

A Gudermann-függvény a valós számokon

A matematikában a Gudermann-függvény a komplex számok használata nélkül összekapcsolja a trigonometrikus és a hiperbolikus függvényeket. A kifejezésekben a Gudermann-függvény belső függvényként szerepel, majd az általa visszaadott értékre alkalmazva a trigonometrikus függvényt hiperbolikus függvényhez jutunk.

Definíció

Valós számokon a Gudermann-függvény:

$\mathrm{gd}(x):=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ch}t}$

Elvégezve a $\mathrm{gd}(x)=\phi ,e^t=s$ helyettesítéseket, és ráeresztve a $\mathrm{d}t=e^{-t}\mathrm{d}s=s^{-1}\mathrm{d}s$ differenciálokat az integrál átalakítható:

$\begin{array}{rl}\phi =\phi (x)& :=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ch}t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{2\mathrm{d}t}{e^t+e^{-t}}=\underset{e^0}{\overset{e^x}{\int }}\frac{2s^{-1}\mathrm{d}s}{s+s^{-1}}=\underset{1}{\overset{e^x}{\int }}\frac{2\mathrm{d}s}{s^2+1}=2\mathrm{arctg}(s){|}_1^{e^x}\\ & :=2\mathrm{arctg}(e^x)-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}-2\mathrm{arctg}(e^{-x})\\ \end{array}$

Az explicit képlet alapján felismerhető, hogy a $\phi =\phi (x)=\mathrm{gd}(x)$ értéke skalár a hiperbolikus függvények számára. Az összes további kifejezésben a szögfüggvények esetén szögről, a hiperbolikus függvényeknél skalárról esik szó. Az exponenciális függvényre megoldva

$e^x:=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{\phi }{2})=\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}{1-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}:=\frac{1+\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}{1-\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}\text{(1)}$

Ebből megkaphatjuk az összefüöggést a félszögre:

$\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}=\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}:=\mathrm{th}\frac{x}{2}\text{(2)}$

A (2)-es egyenlet egyszerűsített ábrázolása a Gudermann-függvény központi kapcsolata, mely megteremti az összefüggést egy szögfüggvény szöge és egy hiperbolikus függvény skalárja között. Ez alapján megadható a függvény ekvivalens definíciója:

$\begin{array}{rl}\phi (x):=\mathrm{gd}x& =2\mathrm{arctg}[\mathrm{th}\left(\frac{1}{2}x\right)]\\ & =\arcsin (\mathrm{th}x)=\mathrm{arctg}(\mathrm{sh}x)=\mathrm{arccsc}(\mathrm{cth}x)\\ & =\mathrm{sgn}(x)\cdot \arccos (\mathrm{sech}x)=\mathrm{sgn}(x)\cdot \mathrm{arcsec}(\mathrm{ch}x)\end{array}$

Ez megfelel a Lambert által vizsgált összefüggésnek:

$\mathrm{th}\frac{x}{2}=\frac{1}{\mathrm{i}}\mathrm{tg}\frac{\mathrm{i}x}{2}=\mathrm{tg}\frac{\phi (x)}{2}.$

A félszögekről az egész szögekre való áttéréshez a (2)-es egyenletet be kell helyettesíteni a tangens kétszeres szög képletébe:

$\mathrm{tg}\phi =\mathrm{tg}\frac{2\phi }{2}:=\frac{2\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{\phi }{2}}:=\frac{2\mathrm{th}\frac{x}{2}}{1-{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}=\frac{2\mathrm{sh}\frac{x}{2}\mathrm{ch}\frac{x}{2}}{{\mathrm{ch}}^2\frac{x}{2}-{\mathrm{sh}}^2\frac{x}{2}}=2\mathrm{sh}\frac{x}{2}\mathrm{ch}\frac{x}{2}:=\mathrm{sh}x\text{(3)}$

Ez az egyenlet szintén központi fontosságú; más szögfüggvények és hiperbolikus függvények használatával másként tudjuk kifejezni ezt a kapcsolatot. Így jutunk a következő egyenlethez:

$\sin \phi :=\mathrm{th}x\text{(4)}$

ami szintén nagyon fontos. Az egyenlet megoldása a Gudermann-függvényre: $\phi =\phi (x)=\mathrm{gd}(x)$

Inverz függvénye

Az inverz Gudermann-függvény megkapható a fenti egyenletek $x$-re való megoldásával. Kifejezéséhez logaritmusfüggvényre van szükség. Definiálható a fenti egyenletektől függetlenül is, de levezethető a Gudermann-függvényhez hasonlóan, habár a köztes lépésekhez bonyolult számításokra van szükség. Ha $-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$, akkor:

$\begin{array}{rl}\mathrm{arcgd}(\phi )& :={\mathrm{gd}}^{-1}(\phi )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\cos t}=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{2\mathrm{d}t}{e^{\mathrm{i}t}+e^{-\mathrm{i}t}}=\dots \\ & =\ln \mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{\phi }{2})=\ln \frac{1+\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}{1-\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}=\ln \frac{\cos \frac{\phi }{2}+\sin \frac{\phi }{2}}{\cos \frac{\phi }{2}-\sin \frac{\phi }{2}}\\ & =\ln \mathrm{ctg}(\frac{\pi }{4}-\frac{\phi }{2})\text{(1 alapján)}\\ & =\ln \frac{1+\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}{1-\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}}\\ & =2\mathrm{arth}(\mathrm{tg}\frac{\phi }{2})\text{(2 alapján)}\\ & =\ln \frac{{(\cos \frac{\phi }{2}+\sin \frac{\phi }{2})}^2}{{\cos }^2\frac{\phi }{2}-{\sin }^2\frac{\phi }{2}}=\ln \frac{{\cos }^2\frac{\phi }{2}+{\sin }^2\frac{\phi }{2}+2\cos \frac{\phi }{2}\sin \frac{\phi }{2}}{1-{\sin }^2\frac{\phi }{2}-{\sin }^2\frac{\phi }{2}}\\ & =\ln \frac{1+2\cos \frac{\phi }{2}\sin \frac{\phi }{2}}{1-2{\sin }^2\frac{\phi }{2}}=\ln \frac{1+\sin \phi }{\cos \phi }=\ln (\mathrm{tg}\phi +\sec \phi )\\ & =\ln \frac{1+\sin \phi }{\sqrt{1-{\sin }^2\phi }}=\ln \sqrt{\frac{1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \phi }{1-\sin \phi }\\ & =\mathrm{arth}(\sin \phi )\text{(4 alapján)}\\ & =\mathrm{arsh}(\mathrm{tg}\phi )\text{(3 alapján)}\\ & =\mathrm{arch}(\sec \phi )\\ \end{array}$

Az inverz Gudermann-függvény kiértékeléséhez a (4)-es egyenlet különösen alkalmas, különösen az értelmezési tartomány középső kétharmadában: $-\frac{\pi }{3}<\phi <\frac{\pi }{3}$. A széleken a félszöges ábrázolást részesítik előnyben, mivel ekkor nem kell a szinusz és a koszinusz szélsőértékeinek közelében számolni, ezzel az eredmény pontosabb lehet. Hasonló módszerekkel végzik a Gudermann-függvény kiértékelését is.

További kapcsolatok

A Gudermann-függvény és inverzének deriváltja:

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{gd}(x)=\mathrm{sech}x=\cos (\mathrm{gd}x),\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\phi }\mathrm{arcgd}(\phi )=\sec \phi \end{array}$

Azonosság a komplex számításokhoz:

$\mathrm{gd}(\mathrm{i}\cdot x)=\mathrm{i}\cdot \mathrm{arcgd}\left(x\right)$

A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:

$\begin{array}{rlrlrl}\mathrm{sh}(x)& =\mathrm{tg}(\mathrm{gd}x)& =& \mathrm{tg}(\phi )& & \text{(3)}\\ \mathrm{ch}(x)& =\sec (\mathrm{gd}x)& =& \sec (\phi )\\ \mathrm{th}(x)& =\sin (\mathrm{gd}x)& =& \sin (\phi )& & \text{(4)}\\ \mathrm{sech}(x)& =\cos (\mathrm{gd}x)& =& \cos (\phi )\\ \mathrm{csch}(x)& =\mathrm{ctg}(\mathrm{gd}x)& =& \mathrm{ctg}(\phi )\\ \mathrm{cth}(x)& =\csc (\mathrm{gd}x)& =& \csc (\phi )\\ \end{array}$

Alkalmazások

A trigonometrikus és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat segítségével egyszerűsíthetők a matematikai képletek. Egyszerű deriváltjaik miatt a Gudermann-függvény és inverze integrál helyettesítésre alkalmas. Gudermann erre használta őket. A Mercator-vetületekben a $\phi$ földrajzi szélességet az $y_N$ észak-dél komponenssel a Gudermann-függvény kapcsolja össze. Az $R$ földsugár az

$\begin{array}{rlrl}\text{(2)}& & \mathrm{tg}\frac{\phi }{2}& =\mathrm{th}\frac{y_N}{2R}\\ \text{(3)}& & \mathrm{tg}\phi & =\mathrm{sh}\frac{y_N}{R}\\ \text{(4)}& & \sin \phi & =\mathrm{th}\frac{y_N}{R}\\ \end{array}$

egyenletekben fontos. Mivel a Mercator-vetület helyi torzítása a szélességi foktól úgy függ, mint $\sec \phi$, az $\frac{y_N}{R}$ relatív projekciós távolság az Egyenlítőtől az $\phi$ szélességig az összes torzítás integrálja, az Egyenlítőtől $\phi$-ig:

$\frac{y_N(\phi )}{R_E}=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\cos t}=\mathrm{arth}(\sin \phi ):=\mathrm{arcgd}(\phi )$

A kiértékelés szempontjából az inverz Gudermann-függvény félszöges ábrázolása részesítendő előnyben. A Gudermann-függvényhez hasonló, szigmoid alakú lefutás a tangens hiyperbolicusra és a logisztikus függvényre is jellemző.

Története

Habár nevét Christoph Gudermann (1798–1852) után kapta, már 1760 körül leírta a svájci Johann Heinrich Lambert, mikor a tangens lánctörtbe fejtése közben az e és a Pí számokat próbálta egymással összefüggésbe hozni. Az általa transzcendens szögnek nevezett függvény nem váltotta be a hozzá fűzött reményeit, és nem sikerült az összefüggést nem triviális, analitikus alakban megadnia, vagy valahol máshol felhasználnia. Christoph Gudermann 1830 körül elliptikus integrálokat vizsgált, és véletlenül bukkant rá a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények nem triviális összefüggéséről, mely az összes trigonometrikus függvényre alkalmazható. Neki sikerült az összefüggést analitikus formába öntenie, azonban csak kevés figyelemre talált. A Gudermann-függvény elnevezést Arthur Cayley adta 1862-ben, amikor az elliptikus integrálok vizsgálata közben hivatkozott Gudermann munkásságára.

Forrás

• Weisstein, Eric W.: {{{title}}} (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gudermannfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.