Riccati-féle differenciálegyenlet

Az

$y^{\prime }+p(x)y=r(x)y^2+h(x)(1)$

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük. Az egyenletet Jacopo Riccati (1676–1754) velencei jogászról és matematikusról nevezték el.

Speciális esetek

• Ha $r(x)\equiv 0$, akkor lineáris.
• Ha $h(x)\equiv 0$, akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk.

Megoldása

Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet általában integrálással nem oldható meg, de ha ismeretes az (1) egyenlet egyetlen

$y=y_1(x)$

partikuláris megoldása, akkor az

$z(x)=y-y_1(x)$

új ismeretlen függvény bevezetésével már az általános $y=z(x)+y_1(x)$ megoldás is előállítható. Mi csak ezzel az esettel foglalkozunk. Legyen az (1) egyenlet egy partikuláris megoldása $y_1(x)$, ekkor fennáll az

${y_{1^{\prime }}}^{\prime }+p(x)y_1=r(x)y_1^2+h(x)(2)$

azonosság. Vonjuk ki (1)-ből (2) megfelelő oldalát:

$y^{\prime }-{y_{1^{\prime }}}^{\prime }+p(x)(y-y_1)=r(x)(y^2-y_1^2)$,

és vezessük be az

$z(x)=y-y_1(x)$

új ismeretlen függvényt, akkor a

$z^{\prime }+p(x)z=r(x)z(z+2y_1)$

alak áll elő. Rendezve

$z^{\prime }+(p(x)-2r(x)y_1)z=r(x)z^2(3)$

egyenletre jutunk, amely az új z(x) függvényre Bernoulli-féle differenciálegyenlet. Ennek megoldását az előző pontban ismertetett módon kapjuk, az

$\frac{1}{z}=u(x)$

új ismeretlen függvény bevezetésével ugyanis lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható.

Források

• A Riccati-féle egyenlet
• A Riccati-féle egyenlet
• A Riccati-féle egyenlet