Közönséges differenciálegyenlet

A közönséges differenciálegyenlet (KDE, angolul ODE) olyan differenciálegyenlet, amely egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva. Egy olyan F(x, y, y′, y″, y‴, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 függvényegyenlet, ahol az F függvény argumentumában az x független változó mellett egy ismeretlen y(x) függvény deriváltjai is megjelennek. A megoldásokat az olyan y(x) függvények jelentik, amelyeknél F minden x-re nullát vesz fel. Gyakran használják dinamikus jelenségek modellezésekor, amikor is a független változó a t-vel jelölt idő.

Csoportosításuk

Rend szerint

• n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Példák:

$y^{\prime }(x)=\mathrm{s}\mathrm{h}(x)+y^2(x)$ elsőrendű,

$y^{″}(x)+y^3(x)y^{\prime }(x)=\mathrm{t}\mathrm{g}(x)$ másodrendű,

$y^{(4)}+7y=0$ negyedrendű.

Függvénytípus szerint

• Lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példák:

$\sin (x)y^{\prime }(x)+x^{2}y(x)+\sqrt{x}=0$ elsőrendű lineáris,

$e^x{y}^{″}(x)+(x^4-x)y^{\prime }(x)-\frac{x+1}{x^3}y(x)+\cos (x)=0$ másodrendű lineáris.

Ezen belül lehet homogén vagy inhomogén, illetve lehet állandó együtthatójú vagy nem állandó együtthatójú.

○ Homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő, sem konstans tag. Példák:

$\sin (x)y^{\prime }(x)-e^{x}y(x)=0$ elsőrendű homogén lineáris,

$x^3{y}^{″}(x)+\frac{1}{x}y(x)=0$ másodrendű homogén lineáris.

○ Inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példák:

$\sin (x)y^{\prime }(x)-e^{x}y(x)=\mathrm{t}\mathrm{g}(x)$ elsőrendű inhomogén lineáris,

$x^3{y}^{″}(x)+\frac{1}{x}y(x)=x^2+5$ másodrendű inhomogén lineáris.

○ Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az egyenletben y-nak és összes deriváltjának az együtthatója konstans. Példák:

$3y^{\prime }-7y=0$ elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris (ez a legegyszerűbb típus),

$9y^{″}(x)+4y^{\prime }(x)=5x^{12}$ másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

• Nemlineáris, ha nem lineáris. Példák:

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)y^{″}(x)+x^{2}y(x)y^{\prime }(x)=8$,

$y^{″}(x)=e^{\cos (x{y}^2(x))y(x)}$.

Néhány specialitás

Bernoulli-féle differenciálegyenlet

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

$y^{\prime }+p(x)y=r(x)y^n$

alakú, ahol n ismert természetes szám (n ≠ 0, 1), p(x) és r(x) ismert függvények. Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet

A Riccati-féle differenciálegyenlet

$y^{\prime }+p(x)y=r(x)y^2+h(x)$

alakú, ahol p(x), r(x) és h(x) ismert függvények. Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

$x^2{y}^{″}+a_{1}x{y}^{\prime }+a_{2}y=r(x)$,

ahol r(x) ismert függvény, $a_1$ és $a_2$ pedig ismert állandók.

Megoldásuk

A megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni. Analitikusan a megoldás lehet általános vagy partikuláris, illetve reguláris vagy szinguláris. Alkalmazásokban gyakran numerikusan megoldásokat keresnek, például a Runge–Kutta-módszerrel.

Irodalom

• Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek (Műszaki, 1997) Bolyai-sorozat, 4. kiadás. ISBN 963 16 1216 3
• Tóth János és Simon Péter: Differenciálegyenletek (Typotex, 2005) ISBN 963 9326 46 1
• L. Sz. Pontrjagin: Közönséges differenciálegyenletek (Typotex reprint kiadás, 2012) ISBN 978-963-2791-40-1
• V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek (Műszaki könyvkiadó, 1987) ISBN 963-10-7044-1
• Kósa András: Differenciálegyenletek (Tankönyvkiadó 1968)
• V.V. Sztyepanov: A differenciálegyenletek tankönyve (Tankönyvkiadó 1952)

Külső hivatkozások

A Wikimédia Commons tartalmaz Közönséges differenciálegyenlet témájú médiaállományokat.

• Közönséges differenciálegyenletek PDF – Szegedi Tudományegyetem, Fizikus Tanszékcsoport