Sík (geometria)

A 3 koordinátasík

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a kétdimenziós síkgeometriában és a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom. Leírása, és nem definíciója szerint végtelenül kiterjedt, kétdimenziós objektum. Ha egy egy sík egy egyenes két pontját tartalmazza, akkor a sík a teljes egyenest tartalmazza. Konkrétabban a matematika különböző részterületei különböző objektumokat tekintenek síknak.

Definíciója

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

• Kétdimenziós objektum, azaz két, egymástól különböző irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
• Három nem kollineáris pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
• Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Önálló objektum

A legkisebb projektív sík (hét pont, hét egyenes)

A legkisebb affin sík (négy pont, hat egyenes)

Klasszikus síkfogalom

A klasszikus geometriában az (euklideszi) sík geometriai vizsgálatok tárgya, például abból a szempontból, hogy milyen alakzatok szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval. A sík (ebben az összefüggésben határozott névelővel, mint ami nincs magasabb dimenzióba ágyazva) a rajzlap absztrakciója, ami végtelenül lapos és végtelenül kiterjedt; ahogy az egyenes a ceruzával vagy más eszközzel meghúzott vonal végtelenül vékony és végtelenül hosszú absztrakciója. A modern geometriát a Hilbert-féle axiómarendszer írja le. Descartes óta a sík azonosítható a valós számok rendezett párosaival, ${\mathbb{ℝ}}^2$-tel. Más szóval, ${\mathbb{ℝ}}^2$ a Hilbert-féle geometria modellje. Ezt a valós vektorteret is nevezik síknak.

Projektív sík

A projektív sík megkapható úgy, hogy egyeneseinek párhuzamos nyalábjaihoz hozzáveszünk egy-egy végtelen távoli pontot, és ezek halmazát a sík végtelen távoli egyenesének tekintjük. Az így kapott projektív sík is leírható algebrailag: homogén valós számhármasokat veszünk. Itt a homogén szó azt jelenti, hogy ha egy számhármas minden tagját ugyanazzal a nullától különböző valós számmal szorozzuk, akkor az új hármas ugyanazt a pontot adja meg, mint a régi. Ugyanezek a hármasok írják le ${\mathbb{ℝ}}^3$ egydimenziós altereit; azaz a projektív sík pontjai azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő egyeneseivel. A projektív sík egyenesei hasonlóan azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő síkjaival.

Általánosítások

Ha gyengítjük a Hilbert-féle axiómákat, például lehetővé tesszük a végességet, akkor véges struktúrákhoz jutunk, melyeket affin vagy projektív síkoknak nevezünk. A legkisebb projektív sík hét pontot és hét egyenest tartalmaz. Tetszőleges egyenes és annak pontjainak eltávolításával affin síkhoz jutunk, négy ponttal és hat egyenessel. A Descartes-féle modell általánosításában ahelyett, hogy a valós számokkal koordinátáznánk a síkot, egy tetszőleges $K$ testet használunk. Így jutunk a $K^2$ kétdimenziós vektorterekhez, melyek affin síkokat írnak le. A $K^3$ affin terek segítségével pedig projektív síkok írhatók le. Azonban belátható, hogy nem minden projektív sík írható le ezzel a módszerrel. Ha $K=\mathbb{ℂ}$, akkor meg kell jegyeznünk, hogy a komplex számok valós értelemben már maguk kétdimenziós teret alkotnak. Így a komplex egyenes kétdimenziós, a komplex sík négydimenziós, azonban csak kétdimenziós komplex vektortér. Ha $K$ véges, akkor véges síkokhoz jutunk. Ha például $K={\mathbb{𝔽}}_2$, akkor a fent leírt legkisebb projektív, illetve affin síkokhoz jutunk. Topológiai értelemben a sík csak $K=\mathbb{ℝ}$ esetén felület. A $K=\mathbb{ℂ}$ esetben komplex felület.

Sík megadása az analitikus geometriában

A sík egyenlete

A sík paraméteres egyenlete

Két metsző sík

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Az egyenlet különböző alakokat ölthet, attól függően, hogy mely adatokból számították ki. Legyen $(x_0,y_0,z_0)$ a sík egy pontja és egy $(a,b,c)$ normálvektor. Ekkor a sík egyenlete:

$ax+by+cz=d$

ahol a d konstans a következőképpen adódik:

$d=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$

A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

$⟨\mathbf{(}x,y,z),\mathbf{(}a,b,c)⟩=d$

A tengelymetszeti egyenlet alakja:

$\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}+\frac{z}{z_0}=1$

ahol $(x_0,0,0)$, $(0,y_0,0)$ és $(0,0,z_0)$ a sík koordinátategelyekkel vett metszéspontjai. Ha a sík párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor az egyenletben nem szerepel az annak megfelelő koordinátát tartalmazó term. A sík paraméteres egyenlete:

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}$     $s,t\in \mathbb{ℝ}$

alakú, ahol $\overrightarrow{p}$ támaszvektor, $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$ irányvektorok. A $\overrightarrow{p}$ pont a sík tetszőleges pontja, $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$ párhuzamosak a síkkal úgy, hogy nem konstansszorosai egymásnak. Az irányvektorok affin koordináta-rendszert feszítenek ki, amiben $(s,t)$ a sík pontjainak koordinátái. A sík hárompontos egyenlete

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+s(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})+t(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p})$     $s,t\in \mathbb{ℝ}$

alakú, ahol $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{q}$ és $\overrightarrow{r}$ a sík egymástól különböző pontjai, melyek nincsenek egy egyenesen. A sík normálegyenlete

$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$

alakú, ahol $\overrightarrow{p}$ a sík támaszvektora, és $\overrightarrow{n}$ normálvektor. A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a normálvektor merőleges a sík pontjának, mint normálvektornak és a támaszpont, mint helyvektornak különbségére. A sík feszítő vektoraira teljesül, hogy $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. A sík Hesse-féle normálegyenlete

$\overrightarrow{x}\cdot {\overrightarrow{n}}_0=d$

alakú, ahol ${\overrightarrow{n}}_0$ egységnyi hosszú, a sík irányába mutató normálvektor, és $d$ a sík távolsága az origótól. Magasabb dimenziós terekben a sík lineáris 2-sokaság az ${\mathbb{ℝ}}^n$ $n$-dimenziós térben. A fenti implicit alakban adott egyenletek ezekben a terekben hipersíkokat írnak le. A síkok egyenletrendszere $n-2$ egyenletből álló egyenletrendszerrel írható le, mivel ennyi hipersík metszetéből áll elő. Ezeknek a hipersíkoknak egymástól független normálvektorai kellenek, hogy legyenek.

Metszéspontok háromdimenziós térben

Egyenes és sík metszete

Egyenes és sík metszete

A térben az egyeneseket rendszerint $(x(t),y(t),z(t))$ paraméterábrázolással, a síkokat $ax+by+cz=d$ egyenlettel írják le. Behelyettesítve az egyenes paraméteres ábrázolását a sík egyenletébe adódik az

$$\begin{gathered} ax(t)+by(t)+cz(t)=d \\ , \end{gathered}$$

lineáris egyenlet a metszéspont $t_0$ paraméterére. Ha az egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha az egyenletnek minden $t\in \mathbb{ℝ}$ megoldása, akkor az egyenes a síkban van.

Három sík metszéspontja

Ha az egyenes két sík metszeteként van megadva, és keressük a metszéspontját egy síkkal, akkor három sík metszéspontját kell meghatározni. Legyenek a síkok $$\begin{gathered} {\epsilon }_i: \\ {\overrightarrow{n}}_i\cdot \overrightarrow{x}=d_i, \\ i=1,2,3 \end{gathered}$$! Ha ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2,{\overrightarrow{n}}_3$ normálvektoraik lineárisan függetlenek, akkor a metszéspont

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{p}}_0=\frac{d_1({\overrightarrow{n}}_2\times {\overrightarrow{n}}_3)+d_2({\overrightarrow{n}}_3\times {\overrightarrow{n}}_1)+d_3({\overrightarrow{n}}_1\times {\overrightarrow{n}}_2)}{{\overrightarrow{n}}_1\cdot ({\overrightarrow{n}}_2\times {\overrightarrow{n}}_3)} \\ . \end{gathered}$$

A bizonyításhoz vegyük figyelembe, hogy $$\begin{gathered} {\overrightarrow{n}}_i\cdot {\overrightarrow{p}}_0=d_i, \\ i=1,2,3, \end{gathered}$$ és a skaláris szorzásra vonatkozó szabályokat.

Pont és sík távolsága

A $\overrightarrow{p_0}=(x_0,y_0,z_0)$ pont és az $ax+by+cz+d=0$ egyenletű sík távolsága:

$\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Ha a sík adott a $\overrightarrow{p_1}=(x_1,y_1,z_1)$, $\overrightarrow{p_2}=(x_2,y_2,z_2)$, $\overrightarrow{p_3}=(x_3,y_3,z_3)$ pontokkal, akkor a távolság számítható a

$\frac{(\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1})\times (\overrightarrow{p_3}-\overrightarrow{p_1})}{|(\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1})\times (\overrightarrow{p_3}-\overrightarrow{p_1})|}\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p_1})$

képlettel, ahol $\times$ jelöli a vektoriális szorzatot, $\cdot$ a skaláris szorzatot, és $\left|\right|$ egy vektor hosszát. Alternatív módszerként el lehet végezni az

$a=y_1{z}_2-y_2{z}_1+y_2{z}_3-y_3{z}_2+y_3{z}_1-y_1{z}_3$

$b=z_1{x}_2-z_2{x}_1+z_2{x}_3-z_3{x}_2+z_3{x}_1-z_1{x}_3$

$c=x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_2{y}_3-x_3{y}_2+x_3{y}_1-x_1{y}_3$

$d=x_1{y}_2{z}_3-x_1{y}_3{z}_2+x_2{y}_3{z}_1-x_2{y}_1{z}_3+x_3{y}_1{z}_2-x_3{y}_2{z}_1$

helyettesítést.

Források

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter. Mathematik verstehen und anwenden. Springer (2011) 
• Lothar Papula. Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer (2009) 
• Thomas Westermann. Mathematik für Ingenieure. Springer (2008) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebene (Mathematik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként. Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebenengleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Hilbert-féle axiómarendszer
• Koordinátageometria