Koordinátasík

A koordinátasík a kétdimenziós térben

A koordinátasík az analitikus geometriában az egységvektorokkal kifeszített síkok egyike. Két dimenzióban a koordinátasík megfelel az euklideszi síknak, így egy Descartes-féle koordináta-rendszer alapfelületének. A háromdimenziós térben három koordinátasík van: az xy-sík, az yz-sík és az xz-sík. Az ábrázoló geometriában a három sík az alapsík, a magasságsík és a keresztsík. A szintetikus geometriában a koordinátasík egy affin vagy projektív sík, ami ellátható koordinátákkal egy adott algebrai struktúrából. Ekkor a sík koordinátasík az adott struktúra (ternértest, ferdetest, kvázitest, alternatív test, satöbbi) fölött, de úgy is mondják, hogy koordinátázható az adott struktúrával.

Jelölések

Koordinátasík a háromdimenziós térben

A következőkben az ${\mathbb{ℝ}}^3$ háromdimenziós tér tengelyeit $x_1$, $x_2$ és $x_3$ jelöli. Ekkor a koordinátasíkok jelölése $S$, melyet két indexszel látnak el. Ezek azoknak a tengelyeknek felelnek meg, amelyek a síkot kifeszítik:

• az $S_{12}$ $x_1{x}_2$-síkot az ${\overrightarrow{e}}_1$ és ${\overrightarrow{e}}_2$ vektorok feszítik ki
• az $S_{13}$ $x_1{x}_3$-síkot az ${\overrightarrow{e}}_1$ és ${\overrightarrow{e}}_3$ vektorok feszítik ki
• az $S_{23}$ $x_2{x}_3$-síkot az ${\overrightarrow{e}}_2$ és ${\overrightarrow{e}}_3$ vektorok feszítik ki

ahol ${\overrightarrow{e}}_1=(1,0,0)$, ${\overrightarrow{e}}_2=(0,1,0)$ és ${\overrightarrow{e}}_3=(0,0,1)$. A három koordinátasík a háromdimenziós teret nyolc térnyolcadra (oktáns) osztja. Két koordiátasík metszete egy koordinátatengely, a három koordinátasík metszete az origó.

Egyenletek

A három koordinátasík egyenletei:

Koordinátasík	Koordinátás egyenlet	Normálegyenlet	Paraméteres egyenlet	Tengelymetszeti egyenlet
$S_{12}$	$x_3=0$	${\overrightarrow{e}}_3\cdot \overrightarrow{x}=0$	$\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_1+t{\overrightarrow{e}}_2$	nincs definiálva
$S_{13}$	$x_2=0$	${\overrightarrow{e}}_2\cdot \overrightarrow{x}=0$	$\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_1+t{\overrightarrow{e}}_3$	nincs definiálva
$S_{23}$	$x_1=0$	${\overrightarrow{e}}_1\cdot \overrightarrow{x}=0$	$\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_2+t{\overrightarrow{e}}_3$	nincs definiálva

ahol $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3$ az adott sík pontja, $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$ az $\overrightarrow{x}$ és $\overrightarrow{y}$ vektorok skaláris szorzata, illetve $s$ és $t$ valós számok.

Források

• Wolf-Dieter Klix, Karla Nestler. Konstruktive Geometrie. Hanser (2001) 
• Max Koecher, Aloys Krieg. Ebene Geometrie, 3., Springer (2007) 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Koordinatenebene című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.