Köbös prímek

A matematika, azon belül a számelmélet területén egy köbös prím (cuban prime) olyan prímszám, ami a két következő, x és y természetes számok köbre emelését tartalmazó diofantoszi egyenlet egyikének megoldását adja. Az első ilyen egyenlet:

$$\begin{gathered} p=\frac{x^3-y^3}{x-y}, \\ x=y+1, \\ y>0 \end{gathered}$$

és az ebből levezethető első néhány köbös prím: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, ... (A002407 sorozat az OEIS-ben) Az így előállítható köbös prímek felírhatók így is: $\frac{(y+1{)}^3-y^3}{y+1-y}$, aminek egyszerűbb alakja $3y^2+3y+1$. Ez pontosan a középpontos hatszögszámok általános alakja; tehát az összes ilyen köbös prím középpontos hatszögszám. 2006-ban a legnagyobb ilyen prímszám 65537 jegyű volt, ahol az $y=100000845^{4096}$. Ezt a számot Jens Kruse Andersen találta meg. A második ilyen egyenlet::

$$\begin{gathered} p=\frac{x^3-y^3}{x-y}, \\ x=y+2, \\ y>0. \end{gathered}$$

Ami egyszerűsíthető $3y^2+6y+4$ alakra. Ha $y=n-1$-et helyettesítjük, felírható egyszerűbben, mint $$\begin{gathered} 3n^2+1, \\ n>1 \end{gathered}$$. Az első néhány ilyen köbös prím (A002648 sorozat az OEIS-ben):

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313

Általánosítás

Egy általánosított köbös prím a következő formában felírható bármely prímszám:

$p=\frac{x^3-y^3}{x-y},x>y>0.$

Valójában ez az összes 3k+1 alakú prímet jelenti.

Kapcsolódó szócikkek

• Köbszámok

Jegyzetek

• Caldwell, Dr. Chris K., ed., The Prime Database: 3*100000845^8192 + 3*100000845^4096 + 1, University of Tennessee at Martin, <http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=76705>. Hozzáférés ideje: June 2, 2012
• Phil Carmody, Eric W. Weisstein and Ed Pegg, Jr.: Cuban Prime (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Cunningham, A. J. C. (1923), Binomial Factorisations, London: F. Hodgson
• Cunningham, A. J. C. (1912), On Quasi-Mersennian Numbers, vol. 41, England: Macmillan and Co., pp. 119–146