Gauss-egész

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

Műveletek

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az $i^2=-1$ egyenlőséget: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$. E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek $\mathbf{Z}[i]$-vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste $\mathbf{Q}(i)=\{a+bi:a,b\in \mathbf{Q}\}$. A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

Norma

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.$

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

Egységek, asszociáltak, prímelemek

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása $2=-i(1+i{)}^2$. Minden $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ $\mathbf{Z}$-beli prímszám $\mathbf{Z}[i]$-ben is prím. Ha viszont $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ prímszám, akkor p felbomlik, mint $p=(a+bi)(a-bi)$, ahol $a^2+b^2=p$ (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az $a+bi$, $a-bi$ Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet. A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: $x\equiv y(\mathrm{mod}z)$ akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor ha $\pi$ prímelem, akkor a mod $\pi$ maradékosztályok száma $N(\pi )$.

Egyértelmű prímfaktorizáció

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így $\mathbf{Z}[i]$ euklideszi gyűrű: ha $a,b\in \mathbf{Z}[i]$, $b\ne 0$, akkor létezik $q$ és $r$, hogy $a=bq+r$ és $N(r)<N(b)$. Innen adódik, hogy $\mathbf{Z}[i]$-ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi =xy$ esetén x vagy y asszociáltja $\pi$-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi \mid xy$ esetén $\pi \mid x$ vagy $\pi \mid y$ teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható $x={\pi }_1\cdots {\pi }_r$ alakban, ahol ${\pi }_1,\dots ,{\pi }_r$ prímelemek, továbbá, ha $x={\rho }_1\cdots {\rho }_s$ egy másik felírás, akkor $s=r$ és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re ${\rho }_j$ asszociáltja ${\pi }_j$-nek.

Kapcsolódó szócikkek

• algebrai számelmélet
• Eisenstein-egész