Algebrai egész szám

Algebrai egész számnak, vagy röviden algebrai egésznek nevezzük az olyan komplex számot, amely zérushelye egy egész együtthatós, 1 főegyütthatójú polinomnak. Az algebrai egészek gyűrűt alkotnak, és minden algebrai egész egyben algebrai szám is. Az algebrai egészek tanulmányozásával foglalkozó tudományág az algebrai számelmélet.

Példák

Algebrai egész minden egész szám. Ha ugyanis $n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$, akkor gyöke az $x-n$ polinomnak. Algebrai egészek az n-edik egységgyökök, mert gyökei az $x^n-1$ polinomnak. Algebrai egészek az Eisenstein-egészek és a Gauss-egészek is. Algebrai egész az aranymetszés $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ arányszáma, mert ${\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }-1=0$.

Ellenpéldák

Nem algebrai egész a $\pi$, hiszen transzcendens szám. Nem algebrai egész az $\frac{1}{2}$. Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az $\frac{1}{2}$ gyöke az $x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_n$ egész együtthatós polinomnak. Akkor

$\frac{1}{2^n}+\frac{a_1}{2^{n-1}}+\frac{a_2}{2^{n-2}}+\dots +a_n=0$

és így

$1+2a_1+2^2{a}_2+\dots +2^n{a}_n=0,$

ami lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

Alapvető tények

Ha $\alpha$ algebrai egész, akkor $\beta =\sqrt[n]{\alpha }$ szintén algebrai egész. Ha ugyanis $\alpha$ kielégíti a $p(x)$ 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot, akkor $\beta$ kielégíti a $p(x^n)$ 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot. Egy algebrai egész csak akkor racionális, ha egész szám. Ez hasonlóan látható be, mint a fenti állítás az $\frac{1}{2}$-re vonatkozóan. Az előző két állításból következik az is, hogy $\sqrt[k]{n}(k,n\in \mathbb{\mathbb{N}})$ akkor és csak akkor racionális, ha $n$ egy természetes szám $k$-adik hatványa. Speciálisan $\sqrt{2}$ nem racionális. Algebrai egészek ellentettje, összege és szorzata ismét algebrai egész, így az algebrai egészek gyűrűt alkotnak. Algebrai egészek hányadosa viszont nem feltétlenül algebrai egész. Például az 1 és a 2 algebrai egészek, de az $\frac{1}{2}$ nem az.

Források

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK